数学物理方法答案(10) 刘连寿new

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1、第十章积分变换法10.1傅里叶积分变换1.有限波列cos2tTtT0ft()0,tTtT试将它用傅里叶积分展开。1解：itf()tc()ed2itcf()()tedtTcos2tt(cositsin)dt0TT2[cos(2)ttcos(2)]dt000sin(2)TTsin(2)0022002.半边指数函数为atet,0ft()0,t0试将它用傅里叶积分展开。3.阻尼正弦波atetsin2t00ft()

2、00t试将它用傅里叶积分展开。1解：itf()tc()ed2itcf()()tedtTtitetsin2edt0T1{}eed[(2it00)][(2it)]t201ee[(2itit00)][(2)]{}2(ii2)(2)000111[]2(ii2)(2)002022(2)(i)04.证明象函数Cp()的位移定理，若有f()tC()p，则有eftipt0()

3、Cpp()0证明：设xpp，则pxpdpdx001iptcppedp()021cxeedp()ixtipt021ecipt0()xeixtdp2eftipt0()即证eftipt0()Cpp()05.证明乘积定理（10-1-350）即：1f()tft()CpCp()()12122证明：iptftftedt()()121iptiptf()tc()pedpedt2211iptiptcp()ftee()dtdp212

4、1cpcppdp()()1221cpcp()()1226.在量子力学里，对于以能量E从金属表面发射出来并处于恒定加速电场E中的电子，设电子的质量和电荷各为m和-e，E的方向和x，00轴的取向相反，其运动服从如下的薛定谔方程：21(dx)eE()xE()x(x0),202mdx()0,()0求电子的波函数。7.试运用傅里叶积分变换求解如下积分方程ytdt()1(0ab)()xtaxa22221解：积分是yx()与（x)的卷积。22xa对方程两边取值傅立叶变换。1(yd)FF[]

5、[]F[y(x)*(x)]xb22()xa21FyxFx[()][()]FyxF[()][]22xa1kb由Fe[]22xbb1kaFe[]22xaaaakba()ba1Fyx[()]eF[]22bbx(ba)aba()yx()22bxb[(]a)8.用傅里叶变换求解下列定解问题：22uu0,xy,0;22xyuxy0(),u0,xu0.y解：设uxy(,)ukyfx(,),()fk()，则原定解问题称为uk2u0(0y)yy(1

6、)uf()ky0kyky问题（1）中方程的通解是ukyCke(,)()Cke()（C，C是积分1212常数）.注意到u，则Ck()02ykyky所以，ukyCke(,)()fke()(2)1ax2a知e(0a)，由（2）式反演即得22ka12yuxy(,)f()d2()xy22yf()d(3)()xy22这就是原方程的解10.2拉普拉斯变换1.求解常微分方程2iyy13;eyy(0)(0)0yy40;y(0)1,(y0)42.求RL串联交流

7、电路中的电流i(t),设电源电动势为()ttsin。0这里电流i(t)所满足的方程和初始条件为：dit()LRi()tsin,ti(0)00dt3.在如题3图所示电路中，首先置开关S于位置1，使电容C充电到电压U。在t0时刻将开关拨到位置2，使电容器通过电感L和电阻R放电，求放电电流。4.在电阻R和电感L串联的电路中，在t0时加进一个宽t，高为A0的单个方形脉冲电压：At0t0()t00ttt,0如图4，求电流。5.试证明n2(1)cos()a22n()snain()a式中实数