速度的倍数到数乘向量.doc

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1、§2.3从速度的倍数到数乘向量I.知识点及考查角度系统学习知识点1：数乘向量的定义及其运算律【重点】【知识详解】1．数乘向量的定义一般地，实数与向量a的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：（1）.（2）当＞0时，a的方向与a的方向相同；当＜0时，a的方向与a的方向相反．（3）∥.2．数乘向量的几何意义（1）实数与向量的积是一个向量，记作,仍是一个向量.（2）当｜｜＞1时，有｜a｜＞｜a｜，表示向量的有向线段在原方向（＞0）或反方向（＜0）伸长为原来的｜｜倍；）当｜｜＜1时，有｜a｜＜｜a｜，表示向量的有向线段在原方向（＞0）或反方向（＜0）压缩为原来的｜｜倍；（3）当或时，。3

2、．数乘向量的运算律数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，对于任意向量a,b及任意实数，向量数乘运算满足如下的法则：设a，b为向量．λ，μ是两个实数，则（1）λ(μa)＝(λμ)a（2）(λ＋μ)a＝λa＋μa（3）λ(a＋b)＝λa＋λb温馨提示：（1）实数与向量可以求积，但不能进行加减运算；（2）数乘向量与数乘数的区别，前者结果为向量，后者结果为一个实数；（3）由数乘向量定义可知，a的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。（4）向量的意义是CJ与向量同向的单位向量。若求向量的单位向量，则应是两个，即±。【典例解读】考查角度1：数乘向量的运算向量的数乘运算法则，与实数的运算类似

3、,不论是在方程中还是在代数式中,都可以象数的运用算法则一样,如：去分母、去括号、移项、合并同类项等。【例1-1】.计算：⑴；⑵；规范解答：（1）=⑵解题技巧:利用分配律去括号,利用结合律进平行向量的加减合并,类似于合并同类项.举一反三：1-1-1（1）化简填空：.（2）点C在线段AB上，且，则答案：（1）（2）点拨：（1）；（2）由几何意义知，长度为的，方向相反，故=考查角度2：数乘向量在平面几何中的简单应用利用数形结合的数学思想，先在进行向量线性运算时要尽可能转化到四边形或三角形中，运用向量加减法的三角形法则或多边形法则，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．【例1-2】

4、（2010年高考湖北卷文科8）已知和点M满足.若存在实使得成立，则=(      )                         A.2                      B.3                C.4               D.5CJ差距点拨：根据数形结合的思想，首先有结论M是重心，再利用向量的加减法则、数乘向量的运算律求解。【例1-3】如图所示，若四边形ABCD是一个等腰梯形，AB∥DC，M、N分别是DC、AB的中点，已知=a，=b，=c，试用a、b、c表示，，+.规范解答：=++=-a+b+c，∵=++，∴=-,=-,=,∴=a-b-c.+=+++

5、=2=a-2b-c.学科思想：由数形结合的数学思想，先在进行向量线性运算时要尽可能转化到四边形或三角形中，运用向量加减法的三角形法则或多边形法则，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．举一反三：【1-2-1】(2013·蚌埠期末联考）若ABCD是正方形，E是DC边的中点，且=a，=b，则=.答案b-a点拨：三角形中两边对应向量已知，可求第三边所对应的向量．值得注意的是，向量的方向不能搞错．当向量运算转化成代数式运算时，其运算过程可仿照多项式的加减运算进行．【1-3-1】已知O为△ABC内一点，且＋＋2＝0，则△AOC与△ABC的面积之比是(　　)A．1∶2　　　B．1∶3　

6、　　C．2∶3　　　D．1∶1知识点2：向量共线的两个定理【重难点】【知识详解】1．判定定理：对于向量（）、，若存在一个实数，使得，那么向量与共线。2．性质定理：向量(¹)与共线，则当且仅当有唯一一个实数，使=．温馨提示：（1）CJ差距点拨：为什么要求是非零的？若=，则,总共线，而时，则不存在实数，使=成立；而==时，不管取什么值，=总成立，不唯一）（2）向量与非零向量平行有且仅有一个实数，使得.（3）CJ思维延伸拓展①要证向量∥，既证=；②要证向量A、B、C三点共线，既证=；（4）CJ二阶结论：若，则A、B、C三点共线。反之也成立。【典例解读】考查角度1：向量共线的两个定理理解向量共

7、线定理可以简化为：∥，即两向量是否有倍数关系决定了它们是否是共线向量。判断两非零向量是否平行，实际上就是找出一个实数，使这个实数能够和其中一个向量把另外一个向量表示出来.【例2-1】判断下列各题中的向量是否共线：（1），；（2），，且，共线．解：（1）当时，则，显然与共线．当时，=-=-，∴与共线．（2）当，中至少有一个为零向量时，显然与共线．当，均不为零向量时，设∴，若时，，，显然与共线．若时，，∴与共线．解题方法：两向量是否有倍数关系决定了