2.3从速度的倍数到数乘向量(1)

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1、授课时间2013-05-09第46课时高一年级数学授课人：贺正平课题：2.3从速度的倍数到数乘向量（1）一、教学目标：1.知识与技能（1）要求学生掌握实数与向量积的定义及几何意义.（2）了解数乘运算的运算律，理解向量共线的充要条件。（3）通过练习使学生对实数与积，两个向量共线的充要条件有更深刻的理解，并能用来解决一些简单的几何问题。2.过程与方法：教材利用同学们熟悉的物理知识引出实数与向量的积，在此基础上得到数乘运算的几何意义；通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.3.情感态度价值观通过本节内容的学习，使同学们对实数与向

2、量积有了较深的认识，让学生理解和领悟知识将各学科有机的联系起来了，有助于培养学生的发散思维和勇于创新的精神.二.教学重、难点重点:实数与向量积的定义及几何意义.难点:实数与向量积的几何意义的理解.三.学法与教学用具学法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教学用具:电脑、投影机.四.教学设想【探究新知】1．思考:（引入新课）已知非零向量作出++和(-)+(-)+(-)BAOCPQMN==++=3==(-)+(-)+(-)=-3讨论：①3与方向相同且

3、3

4、=3

5、

6、②-3与方向相反

7、且

8、-3

9、=3

10、

11、2．从而提出课题：实数与向量的积；实数λ与向量的积，记作：λ定义：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ①

12、λ

13、=

14、λ

15、

16、

17、②λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ=（请学生自己解释其几何意义）例1.(见课本)略[展示投影]思考：根据几何意义，你能否验证下列实数与向量的积的是否满足下列运算定律（证明的过程可根据学生的实际水平决定）结合律：λ(μ)=(λμ)①第一分配律：(λ+μ)=λ+μ②第二分配律：λ(+)=λ+λ③结合律证明：如果λ=0，μ=0，=至少有一个成立，则①式成立如果λ¹0，μ¹0，¹有：

18、λ(μ)

19、=

20、

21、λ

22、

23、μ

24、=

25、λ

26、

27、μ

28、

29、

30、

31、(λμ)

32、=

33、λμ

34、

35、

36、=

37、λ

38、

39、μ

40、

41、

42、∴

43、λ(μ)

44、=

45、(λμ)

46、如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与同向；如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与反向。从而λ(μ)=(λμ)第一分配律证明：如果λ=0，μ=0，=至少有一个成立，则②式显然成立如果λ¹0，μ¹0，¹当λ、μ同号时，则λ和μ同向，∴

47、(λ+μ)

48、=

49、λ+μ

50、

51、

52、=(

53、λ

54、+

55、μ

56、)

57、

58、

59、λ+μ

60、=

61、λ

62、+

63、μ

64、=

65、λ

66、

67、

68、+

69、μ

70、

71、

72、=(

73、λ

74、+

75、μ

76、)

77、

78、∵λ、μ同号∴②两边向量方向都与同向即：

79、(λ+μ)

80、=

81、λ+μ

82、当λ、μ异号，当λ>μ时②

83、两边向量的方向都与λ同向当λ<μ时②两边向量的方向都与μ同向还可证：

84、(λ+μ)

85、=

86、λ+μ

87、∴②式成立第二分配律证明：如果=，=中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立OABB1A1当¹，¹且λ¹0，λ¹1时1°当λ>0且λ¹1时在平面内任取一点O，作===λ=λ则=+λ+λ由作法知：∥有ÐOAB=ÐOA1B1

88、

89、=λ

90、

91、∴λ∴△OAB∽△OA1B1∴λÐAOB=ÐA1OB1因此，O，B，B1在同一直线上，

92、

93、=

94、λ

95、与λ方向也相同AOBB1A1λ(+)=λ+λ当λ<0时可类似证明：λ(+)=λ+λ∴③式成立【探究新知】（师生共同分析向量共

96、线的充要条件）若有向量(¹)、，实数λ，使=λ则由实数与向量积的定义知：与为共线向量若与共线(¹)且

97、

98、：

99、

100、=μ，则当与同向时=μ；当与反向时=-μ从而得：向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ.[展示投影]例题讲评（师生共同分析，学生动手做）PBAO例2.（见P97例2）略例3.（P97例3改编）如图：，不共线，P点在AB上，求证：存在实数使（证明过程与P97例3完全类似；略）思考：由本例你想到了什么？（用向量证明三点共线）五、小结：本节课主要学习了①数乘向量的几何意义理解.②向量与非零向量共线的条件是：有且只有一个非零实

101、数λ，使=λ.六、课后反思：