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1、从速度的倍数到数乘向量编稿：丁会敏审稿：王静伟【学习目标】1.理解实数与向量的积的意义，会利用实数与向量的积的运算律进行计算；2.掌握向量共线的条件；3.了解平面向量的基本定理及其意义；4•掌握平面向量的正交分解。【要点梳理】要点一：数乘向量1.向量数乘的定义实数与向量的积：实数几与向最刁的积是一个向最，记作：/ia（1）1脳l=Ullal；（2）①当；I>0时，彷的方向与云的方向相同;%1当A<0时.Aa的方向与a的方向相反;%1当几=0时，Aa=0・2.向量数乘的几何意义由实数与向量积的定义知，实数与向量的积加的几何意义是：加可以由0同向或反向伸缩得到.当121>1时,表示向量N的有
2、向线段在原方向（2>0）或反方向（2<0）上伸长为原来的121倍得到方;当0<1/11<1时，表示向量N的有向线段在原方向（2>0）或反方向（2<0）上缩短为原来的121倍得到加；当；1=1时，Aa=a；当A=-1时，Aa=-a,与Q互为相反向量；当2=0时，Aa=0・实数与向量的积得几何意义也是求作向量加的作法.要点诠释：（1）兀是一个向量,而I兀丨却是一个非负实数。（2）注意实数与向量的积的特殊情况：当2=0时，2^=6,而当0时若方=6,有Aa=0o3.向量数乘的运算律设2、“为实数结合律：A（ji/a）=（2“）d；分配律：（兄+“衍=加+“&,=+要点诠释：（1）结合律屮的入“
3、均为实数，不能是向量。（2）数乘向量的运算类似于实数运算，先算小括号再算屮括号，将相同的向量看作同类项进行合并。要点二：向量共线的条件1•向量共线的条件（1）当向量a=0时，d与任一向量乙共线.⑵当向量芥d时,对于向量乙.如果有一个实数;I,使忌=脳,那么由实数与向量的积的定义知方与a共线.反之,已知向量忌与：GhO）共线且向量乙的长度是向量方的长度的；I倍,即口1=21別,那么当方与d同向时,&=2a；当禺与a反向时,b=-Za.2.向量共线的判定定理N是一个非零向量,若存在一个实数2,使歩=兀,则向量忌与非零向量N共线.3.向量共线的性质定理若向量乙与非零向量&共线,则存在一个实数兄
4、，使厶=兀・要点诠释：（1）两个向量定理屮向量厅均为非零向量，即两定理均不包括d与d共线的情况；（2）^6是必要条件，否则5=6,乙工6时，虽然乙与方共线但不存在2使b=Aa,（3）有且只有一个实数2,使h=Aa・（4）a//h^a=Ah（h^^是判定两个向量共线的重要依据，其木质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一.要点三：平面向量基本定理1.平面向量基本定理如果石，&是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量0,有且只有一对实数入,入，使。=人勺+兄2勺,称也+心2为勺,勺的线性组合.%1其中石恳叫做表示这一平面内所有向量的基底;%1平面内任一向量祁
5、可以沿两个不共线向量石，&的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的.这说明如果a=人弓+&幺2且a=入q+2^2‘那么A=人：A?=入'•%1当基底石，&是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平血岚角坐标系，因此平面向量基木定理实际上是平面向量坐标表示的基础.要点诠释：平面向量基木定理的作用：平面向量基木定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基底的向量是不共线向量.1.如何使用平面向量基本定理平面向量基木定理反映了平面内任意一个向量可以写成任意两个不供线的向量的线性纟R合.（1）由平面向量基木定理可知，任一平面肓线形图形，都可以表示成某些向童的线
6、性纟H.合，这样在解答儿何问题时，就可以先把已知和结论表示为向量的形式，然后通过向量的运算，达到解题的目的.（2）在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示.选择了不共线的两个向量弓、e2,平面上的任何一个向量a都可以用弓、勺唯一表示为^=人©+人勺，这样儿何问题就转化为代数问题，转化为只含有玄、&的代数运算.要点四：用向量共线的定理证明三点共线和两直线平行的方法两个向量共线的条件是由向量的数乘运算推出的，利用它有时很容易证明几何屮的三点共线和两育线平行，证明三点共线时，只需证明AB=AAC；若证两直线平行，需二加（齐0）,且方，厶所在基线无公共点，并由此证明其他儿何问
7、题，如平行四边形的判定、梯形的判定、三角形的相似等。【典型例题】类型一：向量的数乘运算例1.计算下列备式：1一一1一-3—(1)一(4。+3/?)——(3。一/?)——b；322(2)2(3a-4/?+c)-3(2tz+Z?-3c)；2-一1一1一一(3)—[(4a—3b)+—Z?——(6a-lb)].1---5-11-【答案】(1)一一a(2)11c—lib(3)-a——b63184一-3一1一3一43一13-1一[解析】(1)原
