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《苏州大学空间解析几何复习.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、空间解析几何部分一、向量的加、减、数乘向量、向量的数量积、向量积、混合积例：计算下列各题（1）已知等边△的边长为且求；解：∵∴已知两两垂直且求的长和它与的夹角解：∵且设∴设与的夹角分别为∴∴，，已知与垂直，且与垂直，求的夹角解：，即，即得：得：∴∴∴已知问系数取何值时与垂直？解：∴例：已知:,求与,都垂直,且满足下列条件的矢量:为单位矢量,其中解：用向量积。例:已知直角坐标系内矢量的分量,判别这些矢量是否共面?如果不共面,求出以它们为三邻边作成的平行六面体体积.,,.,,.解:共面∵=∴向量共面不共面∵=∴向量不共面以其为邻边作成的平行六面体体积例:已知直角坐标系内四点坐标,判别它们是否共面?
2、如果不共面,求以它们为顶点的四面体体积和从顶点所引出的高的长.解:又,顶点所引出的四面体高为.二、直线方程，平面方程的求法，点到平面的距离，直线与平面的关系，平面与平面的关系，直线与直线的关系。异面直线的公垂线方程，异面直线间距离例：已知两点,求通过且垂直于的平面例：已知三角形顶点求平行于所在的平面且与她相距为2各单位的平面方程。解：设点则写出平面的点位式方程，设一般方程为由相距为2个单位，所求平面为和例：求中心在且与平面相切的球面方程。解：球面的半径为C到平面：的距离，它为：，所以，要求的球面的方程为：.即：.例：求通过点且与两直线和垂直的直线。解：欲求直线的方向矢量为：，所以，直线方程为：
3、。例：关于直线与点对称的点解：已知直线的方向矢量为：，或为，过垂直与已知直线的平面为：，即，该平面与已知直线的交点为，所以若令为P的对称点，则：，， ，即。例：判别下列直线与平面的相关位置：（1）与；（2）与；（3）与；（4）与。解：（1），而，，所以，直线与平面平行。（2）所以，直线与平面相交，且因为，直线与平面垂直。（3）直线的方向矢量为：，，而点在直线上，又，所以，直线在平面上。（4）直线的方向矢量为，直线与平面相交。例：确定值使下列两直线相交：（1）与轴；（2）与。解：（1）若所给直线与轴相交，则有，满足，从而。（这时）（2）若所给二直线相交，则由共面从而：，且可验证两直线方向不平行
4、，确实相交。例：判别下列各对直线的相互位置，如果是相交的或平行的直线求出它们所在的平面；如果是异面直线，求出它们之间的距离。（1）与；（2）与；（3）与。解：（1）将所给的直线方程化为标准式，为：，（-2）：3：4=2：（-3）：（-4）且点（7，2，0）不在第一条直线上二直线平行。又点与点（7，2，0）在二直线上，矢量平行于二直线所确定的平面，该平面的法矢量为：，从而平面方程为：，即。（2）因为，二直线是异面的。二直线的距离：。（3）因为，但是：1：2：（-1）≠4：7：（-5）所以，两直线相交，二直线所决定的平面的法矢量为，平面的方程为：。例：给定两异面直线：与，试求它们的公垂线方程。解：
5、因为，公垂线方程为：即，亦即。例：求通过点且与两直线都相交的直线方程.解设所求直线的方向矢量为,则所求直线可写为∵直线平行于矢量∴矢量为直线的方向矢量.由于因此令y=o解方程组得x=1,z=o∴点(1,o,o)为直线上的一点.类似求得∴有即X+3Y+3Z=0.即X-13Y-3Z=0.得X:Y:Z=30:6:-16又∵即,即∴所求直线方程为:例：求点到直线的距离。解：直线的标准方程为：所以，p到直线的距离为：。例：求通过直线且与平面成角的平面。解：设所求的平面为：则：从而，或所以所求平面为：或。例：求通过平面和的交线且满足下列条件之一的平面：（1）通过原点；（2）与轴平行；（3）与平面垂直。解：
6、（1）设所求的平面为：欲使平面通过原点，则须：，即，故所求的平面方程为：即：。（2）同（1）中所设，可求出。故所求的平面方程为：即：。（3）如（1）所设，欲使所求平面与平面垂直，则须：从而：，所以所求平面方程为：。三、柱面方程的求法；锥面方程的求法；绕坐标轴的旋转曲面的求法§4.1柱面例：已知柱面的准线为：且（1）母线平行于轴；（2）母线平行于直线，试求这些柱面的方程。解：（1）从方程中消去，得到：即：此即为要求的柱面方程。（2）取准线上一点，过且平行于直线的直线方程为：而在准线上，所以上式中消去后得到：此即为要求的柱面方程。例：设柱面的准线为，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。解：由
7、题意知：母线平行于矢量任取准线上一点，过的母线方程为：而在准线上，所以：消去，得到：此即为所求的方程。例：求过三条平行直线的圆柱面方程。解：过原点且垂直于已知三直线的平面为：它与已知直线的交点为，这三点所定的在平面上的圆的圆心为，圆的方程为：此即为欲求的圆柱面的准线。又过准线上一点，且方向为的直线方程为：将此式代入准线方程，并消去得到：此即为所求的圆柱面的方程。§4.2锥面例：求顶点在原点，准线为
