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1、数学实验题目2Romberg积分法摘要考虑积分欲求其近似值，可以采用如下公式：（复化）梯形公式（复化）辛卜生公式（复化）柯特斯公式这里，梯形公式显得算法简单，具有如下递推关系因此，很容易实现从低阶的计算结果推算出高阶的近似值，而只需要花费较少的附加函数计算。但是，由于梯形公式收敛阶较低，收敛速度缓慢。所以，如何提高收敛速度，自然是人们极为关心的课题。为此，记为将区间进行等份的复化梯形积分结果，为将区间进行等份的复化辛卜生积分结果，为将区间进行等份的复化柯特斯积分结果。根据李查逊（Richardson）外推加速方法，可得到可以证明，如果充分
2、光滑，则有（固定）这是一个收敛速度更快的一个数值求积公式，我们称为龙贝格积分法。该方法的计算可按下表进行……………很明显，龙贝格计算过程在计算机上实现时，只需开辟一个一维数组，即每次计算的结果，可存放在位置上，其最终结果是存放在位置上。前言利用龙贝格积分法计算积分程序设计流程：1．准备初值，计算且（为等份次数）2．按梯形公式的递推关系，计算3．按龙贝格公式计算加速值4．精度控制。对给定的精度，若则终止计算，并取作为所求结果；否则，重复2~4步，直到满足精度为止。问题1（1）程序运行如下：I=Romberginterg(inline('x.
3、^2.*exp(x)'),0,1,25,1e-6)I=0.7183（2）程序运行如下：I=Romberginterg(inline('exp(x).*sin(x)'),1,3,25,1e-6)I=10.9502（3）程序运行如下：I=Romberginterg(inline('4./(1+x.^2)'),0,1,25,1e-6)I=3.1416（4）程序运行如下：I=Romberginterg(inline('1./(1+x)'),0,1,25,1e-6)I=0.6931问题2（1）程序运行如下：I=Romberginterg(inlin
4、e('cos(x)./sqrt(1-x)'),0,1,25,1e-6)I=NaN因为函数在x=0处出现了0/0的情况，极限为1，所以Matlab的结果显示为NaN非数，解决方法是把下限0改为一个小数eps。I=Romberginterg(inline('sin(x)./x'),eps,1,25,1e-6)I=0.9461（2）程序运行如下：I=Romberginterg(inline('cos(x)./sqrt(1-x)'),0,1,25,1e-6)I=NaN与（1）的原因相同，函数在x=1处出现了0/0的情况，结果为无穷，此时应选择变换
5、，将积分变为，再进行变换，将积分变为，变换后输入命令：I=RombergInterg(inline('2*sin(x).*cos((sin(x)).^2)'),0,pi/2,25,1e-6)I=1.4996（3）程序运行如下：I=Romberginterg(inline('cos(x)./sqrt(x)'),0,1,25,1e-6)I=NaN函数在x=0处出现了1/0的情况，结果为无穷。先将积分变为，再做变换，I=2*Romberginterg(inline('cos(x.^2)'),0,1,25,1e-6)I=1.8090（1）程序运行
6、如下：I=Romberginterg(inline('x.*sin(x)./(1-x.^2)'),-1,1,25,1e-6)I=NaN函数在x=1,-1处出现了sin1/0的情况，结果为无穷。被积函数为偶函数，做变换，积分变为I=2*Romberginterg(inline('sin(x).*sin(sin(x))'),0,pi/2,25,1e-6)I=1.3825或者使用Gauss-Chebyshev求积公式：I=GaussInterg(inline('x.*sin(x)'),'Chebyshev',-1,1,1e-6)I=1.3825
7、由于Gauss-Chebyshev求积公式求的是在的积分因此此处的为。问题3（1）程序运行如下：I=Romberginterg(inline('exp(-x.^2)'),-10,10,25,1e-6)I=1.7725由于积分区间无限，而函数在[-10,10]外很小，可以用函数在[-10,10]上的积分近似这个无穷积分。或者使用Gauss-Hermite求积公式：I=GaussInterg(inline('x+1-x'),'Hermite',0,0,1e-6)I=1.7725由于Gauss-Hermite求积公式求的是在的积分因此此处的为1
8、。（2）程序运行如下：先做变换，则原积分变为I=2*Romberginterg(inline('1./(1+x.^2)'),0,1,25,1e-6)I=1.5708（3）程序运行如下：使用Ga
