Romberg算法.ppt

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1、4.1Romberg算法数值分析及计算软件Chap4数值积分与数值微分1Romberg算法太大:利用复化梯形公式、复化Simpson公式、复化Cotes公式等计算定积分时，如何选取步长h？计算精度难以保证太小:计算量增大解决办法：变步长算法通常采取将区间不断对分的方法，即取n=2k，反复采用复化求积公式，直到所得到的计算结果满足指定的精度为止。2梯形法递推公式步长折半：[xi,xi+1/2]，[xi+1/2,xi+1]将[a,b]分成n等分[xi,xi+1]，3梯形法递推公式n=1n=2n=44梯形法递推公式记5举

2、例解：例：用梯形法的递推公式计算定积分,要求计算精度满足Cha4.2.m6程序演示Cha41.m:复化N-C公式Cha42.m:梯形法的递推7龙贝格(Romberg)加速梯形法递推公式算法简单，编程方便解决方法：龙贝格(Romberg)加速但收敛速度较慢8复化积分公式的渐近状态梯形公式：辛普森公式：Cotes公式：思想：利用余项公式与积分的定义9定义如果一种复化求积公式满足下列关系则称该求积公式是p阶收敛的.有如下误差估计式10Romberg加速梯形公式的加速事后估计法而辛普森公式的加速而Cotes公式的加速令辛普

3、森公式Cotes公式Romberg公式11Richardson外推加速法上述加速过程不是出于偶然，而且可以继续进行下去。其理论保证是梯形法的余项展开式定理：设f(x)C[a,b],记Tn=T(h),则有其中系数与h无关12梯形法的加速Richardson外推算法13Romberg算法①T1=T0(0)②T2=T0(1)③S1=T1(0)④T4=T0(2)⑤S2=T1(1)⑥C1=T2(0)⑦T8=T0(3)⑧S4=T1(2)⑨C2=T2(1)⑩R1=T3(0)记::k次等分后梯形公式计算所得的近似值:m次加速后

4、所得的近似值Romberg算法是收敛的14举例例：计算定积分Cha43.mkT0(k)00.92073549210.93979328520.94451352230.94569086440.94598503050.94605856160.94607694370.94608153980.94608268790.946082975100.94608304615举例例：用Romberg算法计算定积分,要求计算精度满足Cha44.mk00.5000000010.426776700.4023689320.407018110.4

5、00431920.4003027830.401812460.400077250.400053610.4000496530.400463400.400013710.400009480.400008780.4000086230.400117670.400002430.400001680.400001550.400001520.40000152解：逐步计算可得(k)T0(k)T1(k)T2(k)T3(k)T4(k)T516梯形法的余项展开式的推导推导方法：Taylor展开方法必要性:Richardson外推法的基础17作

6、业1.证明：梯形公式的Romberg加速为辛普森公式2.教材P104/1118