利用基于Richard加速的Romberg算法进行简单的积分计算

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1、计算机科学学院课程设计报告课程数值分析题目Richard加速Romberg算法的理论推导与程序计算年级2006级专业信息与计算科学学号06062076学生王军指导教师宁娣2008年12月12日8计算机科学学院本科课程设计任务书设计题目：Richard加速Romberg算法的理论推导与程序计算指导教师：宁娣专业：信息与计算科学学生姓名：王军下达时间：2008年12月11日一、设计的主要内容及要求1、设计Richard加速的Romberg算法，并写出详细推导过程；2、写出可由计算机进行计算的算法步骤；3、编写Richard

2、加速的Romberg算法程序，要求程序能计算各种定积分值；4、利用计算机进行实例计算。二、课程设计进程安排第15周：下达任务，查阅相关资料，完成预习报告；第16周：实验室调试并验收；第19周：整理并最终完成课程设计报告。8利用基于Richard加速的Romberg算法进行简单的积分计算摘要：本课程设计论文主要分为六大部分。一、符号说明，对论文中出现过的一些符号进行说明；二、相关准备，主要介绍了复化梯形公式的推导过程和Richard加速过程的理论依据，为Richard外推加速算法的推导提供一些必要准备；三、理论推导，写出

3、了Richard加速的Romberg算法的详细推导过程和计算方法；四、Richard加速的Romberg算法在计算机中实现，主要介绍了如何利用Richard加速的Romberg算法编写MATLAB程序，使其程序能进行较为精确的积分计算（详细程序见附录）；五、利用计算机进行积分计算实例，这里进行了两个不同被积函数在不同积分区间上的积分计算，并写出了计算结果；六、课程总结及心得体会。本次课程设计中，Richard加速的Romberg的推导过程层次清楚且较为详细，使读者看上去通俗、易懂。积分计算程序全部由本人自己编写，语句简

4、单、结构合理且算法复杂度较低。【关键词】数值积分,复化梯形，外推加速算法,节点，余项，MATLAB一、符号说明：被积函数；：步长；：被积区间等份时用复化梯形公式所求得的积分值；：精确积分值；：余项；：积分下限；：积分上限。二、相关准备1、复化梯形公式：把积分区间等分，步长在每个子区间上使用梯形公式:…………………………（2-1）∴…………………(2-2)余项……………………(2-3)8如果将求积区间再二分一次，则分点增至个，将二分前后的两个积分值联系起来加以考察，注意到每个子区间里二分只增加了一个分点，用复化梯形公式求

5、得该子区间上的积分值为：∴………………………………………………………………………(2-4)2、Richard加速过程的理论依据：使得加速过程继续下去的理论依据是梯形法的余项可以展开成级数形式，即当时，有如下等式成立：….即：…………………………………………………(2-5)其中与无关。三、理论推导1、Richard外推加速方法：按式(2-5)，有：………………………………(3-1)⑴现将式（2-5）与式(3-1)按以下方式进行组合，得：………………………………………………………………………………(3-2)则可以从余项展开

6、式中消去误差的主要部分项，从而得到：…………………………………………………(3-3)又根据式(3-3)，有：…………………………………………………………(3-4)⑵令…………………………………………………………………………(3-5)则又进一步从余项展开中消去项，从而有：………………………………………………………(3-6)8……(m)如此继续下去，每加速一次，误差的量级便提高二阶，一般地，将按公式………………………………………………………………(3-7)经过次加速后，余项便取如下形式：………………………………………………

7、…(3-8)2、Richard加速的Romberg算法的递推公式：设表示二分k次后求得的梯形值，且以表示序列的m次加速值，根据上述理论得递推公式为：…………………………………………………(3-9)可以证明，如果充分光滑，那么数据均会收敛到所求积分值，即。3、Richard加速的Romberg方法的计算步骤：①准备初值，计算且令（记录二分的次数）；②求梯形值，按递推公式（2-4）计算梯形值；③求加速值，按递推公式（3-9）逐个求出数表第行其余个元素。④步骤控制，对于指定精度，若，则终止计算，并取作为所求结果；否则令（任意

8、二分一次），转步②继续计算。四、Richard加速的Romberg算法在计算机中实现为了让计算机利用Richard加速的Romberg算法计算积分值，可以编写C程序、C++程序，也可以利用MATLAB软件写m程序来进行计算，三者中，利用MATLAB软件编写程序相对其他两种较为容易。在本课程设计中，使用的是MATLAB软件来计算积分