高中数学 2.4 弦切角的性质教案 新人教A版选修4-1.doc

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1、四弦切角的性质课标解读1.掌握弦切角定理，并能利用它解决有关问题．2.体会分类思想，运动变化思想和化归思想.1．弦切角顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角．2．弦切角定理(1)文字语言叙述：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．(2)图形语言叙述：如图2－4－1，AB与⊙O切于A点，则∠BAC＝∠D.图2－4－11．怎样正确理解弦切角的定义？【提示】　弦切角的特点：(1)顶点在圆上；(2)一边与圆相交；(3)一边与圆相切．弦切角定义中的三个条件缺一不可．如图(1)(2)(3)(4)中的角都不是弦切角．图(1)中，缺少“顶点在圆上”

2、的条件；图(2)中，缺少“一边和圆相交”的条件；图(3)中，缺少“一边和圆相切”的条件；图(4)中，缺少“顶点在圆上”和“一边和圆相切”两个条件．2．弦切角、圆周角、圆心角与它们所对应的弧有什么关系？【提示】　弦切角的度数等于它所夹弧度数的一半，圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，圆心角的度数等于它所对弧的度数．3．运用弦切角定理解题时，一般怎样添加辅助线？【提示】　添加辅助线构成弦切角所夹的弧对应合适的圆周角，为解题提供条件．利用弦切角定理解决与角有关的问题　图2－4－2如图2－4－2，AB是半圆O的直径，C是圆周上一点(异于A、B)，过

3、C作圆O的切线l，过A作直线l的垂线AD，垂足为D，AD交半圆于点E，求证：CB＝CE.【思路探究】　解答本题的关键是运用弦切角定理与圆周角定理的有关知识，进行角度的等量替换．【自主解答】　连接AC，BE，在DC延长线上取一点F，因为AB是半圆O的直径，C为圆周上一点，所以∠ACB＝90°，即∠BCF＋∠ACD＝90°又因为AD⊥l，所以∠DAC＋∠ACD＝90°所以∠BCF＝∠DAC又因为直线l是圆O的切线，所以∠CEB＝∠BCF，又∠DAC＝∠CBE，所以∠CBE＝∠CEB，∴CB＝CE.1．把证明线段相等转化为证明角的相等是弦切角定理应用

4、的常见题目．2．利用弦切角定理进行计算、证明，要特别注意弦切角所夹弧所对的圆周角，有时与圆的直径所对的圆周角结合运用，同时要注意根据题目的需要可添加辅助线构成所需要的弦切角．　如图2－4－3，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，C为切点，AC平分∠BAD.求证：AD⊥CD.图2－4－3【证明】　如图，连接BC.∵CD为⊙O的切线，∴∠ACD＝∠ABC.又AC为∠BAD的平分线，故∠BAC＝∠CAD，∴△ACD∽△ABC.∴∠ADC＝∠ACB.又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠ADC＝90°，即AD⊥CD.利用弦切角定理证明比例式或乘

5、积式　如图2－4－4，PA、PB是⊙O的切线，点C在上，CD⊥AB，CE⊥PA，CF⊥PB，垂足分别为D、E、F，求证：CD2＝CE·CF.图2－4－4【思路探究】　连接CA、CB，∠CAP＝∠CBA、∠CBP＝∠CAB→Rt△CAE∽Rt△CBDRt△CBF∽Rt△CAD→＝→结论【自主解答】　连接CA、CB.∵PA、PB是⊙O的切线．∴∠CAP＝∠CBA，∠CBP＝∠CAB.又CD⊥AB，CE⊥PA，CF⊥PB，∴Rt△CAE∽Rt△CBD，Rt△CBF∽Rt△CAD，∴＝，＝，∴＝，即CD2＝CE·CF.1．解答本题的难点在于乘积式中的线

6、段不在两个相似三角形中，需用中间量过渡．2．弦切角定理经常作为工具，进行三角形相似的证明，然后利用三角形相似进一步确定相应边之间的关系，在圆中证明比例式或等积式，常常需要借助于三角形相似处理．3．弦切角定理有时还与圆周角定理等知识综合运用，它们不但在证明方法上相似，在解题功能上也有相似之处，通常都作为辅助工具出现．　图2－4－9如图2－4－5，已知圆上的弧＝，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：(1)∠ACE＝∠BCD；(2)BC2＝BE·CD.【证明】　(1)∵＝，∴∠BCD＝∠ABC.又∵EC与圆相切于点C，∴∠ACE＝∠ABC.

7、∴∠ACE＝∠BCD.(2)∵∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，∴△BDC∽△ECB，∴＝，即BC2＝BE·CD.(教材第34页习题2.4第2题)如图2－4－6，⊙O和⊙O′都经过A、B两点，AC是⊙O′的切线，交⊙O于点C，AD是⊙O的切线，交⊙O′于点D，求证：AB2＝BC·BD.图2－4－6(2013·课标全国卷Ⅰ)图2－4－7如图2－4－7，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC＝，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆

8、的半径．【命题意图】　考查圆的几何性质、勾股定理及直角三角形的性质．结合图形和圆的几何性质求解，考查了数形结合能力和逻辑推理能力．【解】　(1)证明：