高中数学 2.2 圆锥曲线的参数方程教案 新人教A版选修4-4.doc

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1、二圆锥曲线的参数方程课标解读1.了解双曲线、抛物线的参数方程．2．理解椭圆的参数方程及其应用．3．能够利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题.1．椭圆的参数方程普通方程参数方程＋＝1(a>b>0)(φ为参数)＋＝1(a>b>0)(φ为参数)2.双曲线的参数方程普通方程参数方程－＝1(a>0，b>0)(φ为参数)3.抛物线的参数方程(1)抛物线y2＝2px的参数方程是(t∈R，t为参数)．(2)参数t表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．1．椭圆的参数方程中，参数φ是OM的

2、旋转角吗？【提示】　椭圆的参数方程(φ为参数)中的参数φ不是动点M(x，y)的旋转角，它是点M所对应的圆的半径OA(或OB)的旋转角，称为离心角，不是OM的旋转角．2．双曲线的参数方程中，参数φ的三角函数secφ的意义是什么？【提示】　secφ＝，其中φ∈[0,2π)且φ≠，φ≠π.3．类比y2＝2px(p>0)，你能得到x2＝2py(p>0)的参数方程吗？【提示】　(p>0，t为参数，t∈R)椭圆的参数方程及应用　将参数方程(θ为参数)化为普通方程，并判断方程表示曲线的焦点坐标．【思路探究】　根

3、据同角三角函数的平方关系，消去参数，化为普通方程，进而研究曲线形状和几何性质．【自主解答】　由得两式平方相加，得＋＝1.∴a＝5，b＝3，c＝4.因此方程表示焦点在x轴上的椭圆，焦点坐标为F1(4,0)和F2(－4,0)．　椭圆的参数方程(θ为参数，a，b为常数，且a>b>0)中，常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长，焦点在长轴上．　若本例的参数方程为，(θ为参数)，则如何求椭圆的普通方程和焦点坐标？【解】　将，化为两式平方相加，得＋＝1.其中a＝5，b＝3，c＝4.所以方程的曲线表示焦点在y

4、轴上的椭圆，焦点坐标为F1(0，－4)与F2(0,4)．　已知曲线C1：，(t为参数)，曲线C2：＋＝1.(1)化C1为普通方程，C2为参数方程；并说明它们分别表示什么曲线？(2)若C1上的点P对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：x－2y－7＝0距离的最小值．【思路探究】　(1)参数方程与普通方程互化；(2)由中点坐标公式，用参数θ表示出点M的坐标，根据点到直线的距离公式得到关于θ的函数，转化为求函数的最值．【自主解答】　(1)由得∴曲线C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1

5、，C1表示圆心是(－4,3)，半径是1的圆．曲线C2：＋＝1表示中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．其参数方程为(θ为参数)(2)依题设，当t＝时，P(－4,4)；且Q(8cosθ，3sinθ)，故M(－2＋4cosθ，2＋sinθ)．又C3为直线x－2y－7＝0，M到C3的距离d＝

6、4cosθ－3sinθ－13

7、＝

8、5cos(θ＋φ)－13

9、，从而当cosθ＝，sinθ＝－时，(其中φ由sinφ＝，cosφ＝确定)cos(θ＋φ)＝1，d取得最小值.1．从第(2)问可

10、以看出椭圆的参数方程在解题中的优越性．2．第(2)问设计十分新颖，题目的要求就是求动点M的轨迹上的点到直线C3距离的最小值，这个最小值归结为求关于参数θ的函数的最小值．　(2013·开封质检)已知点P是椭圆＋y2＝1上任意一点，求点P到直线l：x＋2y＝0的距离的最大值．【解】　因为P为椭圆＋y2＝1上任意一点，故可设P(2cosθ，sinθ)，其中θ∈[0,2π)．又直线l：x＋2y＝0.因此点P到直线l的距离d＝＝.所以，当sin(θ＋)＝1，即θ＝时，d取得最大值.双曲线参数方程的应用　求证

11、：双曲线－＝1(a>0，b>0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值．【思路探究】　设出双曲线上任一点的坐标，可利用双曲线的参数方程简化运算．【自主解答】　由双曲线－＝1，得两条渐近线的方程是：bx＋ay＝0，bx－ay＝0，设双曲线上任一点的坐标为(asecφ，btanφ)，它到两渐近线的距离分别是d1和d2，则d1·d2＝·＝＝(定值)．　在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时，使用曲线的参数方程非常简捷方便，其中点到直线的距离公式对参数形式的点的坐标仍适用，另外本题要注意公式sec2φ－

12、tan2φ＝1的应用．　如图2－2－1，设P为等轴双曲线x2－y2＝1上的一点，F1、F2是两个焦点，证明：

13、PF1

14、·

15、PF2

16、＝

17、OP

18、2.图2－2－1【证明】　设P(secφ，tanφ)，∵F1(－，0)，F2(，0)，∴

19、PF1

20、＝＝，

21、PF2

22、＝＝，

23、PF1

24、·

25、PF2

26、＝＝2sec2φ－1.∵

27、OP

28、2＝sec2φ＋tan2φ＝2sec2φ－1，∴

29、PF1

30、·

31、PF2

32、＝

33、OP

34、2.抛物线的参数方程　设抛物线y2＝2px的准线为l，焦点为F，顶点为O，P为抛物线上任一点