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时间:2020-07-07
《高中数学 2.2 圆锥曲线的参数方程教案 新人教A版选修4-4.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、二圆锥曲线的参数方程课标解读1.了解双曲线、抛物线的参数方程.2.理解椭圆的参数方程及其应用.3.能够利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题.1.椭圆的参数方程普通方程参数方程+=1(a>b>0)(φ为参数)+=1(a>b>0)(φ为参数)2.双曲线的参数方程普通方程参数方程-=1(a>0,b>0)(φ为参数)3.抛物线的参数方程(1)抛物线y2=2px的参数方程是(t∈R,t为参数).(2)参数t表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.1.椭圆的参数方程中,参数φ是OM的
2、旋转角吗?【提示】 椭圆的参数方程(φ为参数)中的参数φ不是动点M(x,y)的旋转角,它是点M所对应的圆的半径OA(或OB)的旋转角,称为离心角,不是OM的旋转角.2.双曲线的参数方程中,参数φ的三角函数secφ的意义是什么?【提示】 secφ=,其中φ∈[0,2π)且φ≠,φ≠π.3.类比y2=2px(p>0),你能得到x2=2py(p>0)的参数方程吗?【提示】 (p>0,t为参数,t∈R)椭圆的参数方程及应用 将参数方程(θ为参数)化为普通方程,并判断方程表示曲线的焦点坐标.【思路探究】 根
3、据同角三角函数的平方关系,消去参数,化为普通方程,进而研究曲线形状和几何性质.【自主解答】 由得两式平方相加,得+=1.∴a=5,b=3,c=4.因此方程表示焦点在x轴上的椭圆,焦点坐标为F1(4,0)和F2(-4,0). 椭圆的参数方程(θ为参数,a,b为常数,且a>b>0)中,常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长,焦点在长轴上. 若本例的参数方程为,(θ为参数),则如何求椭圆的普通方程和焦点坐标?【解】 将,化为两式平方相加,得+=1.其中a=5,b=3,c=4.所以方程的曲线表示焦点在y
4、轴上的椭圆,焦点坐标为F1(0,-4)与F2(0,4). 已知曲线C1:,(t为参数),曲线C2:+=1.(1)化C1为普通方程,C2为参数方程;并说明它们分别表示什么曲线?(2)若C1上的点P对应的参数为t=,Q为C2上的动点,求PQ中点M到直线C3:x-2y-7=0距离的最小值.【思路探究】 (1)参数方程与普通方程互化;(2)由中点坐标公式,用参数θ表示出点M的坐标,根据点到直线的距离公式得到关于θ的函数,转化为求函数的最值.【自主解答】 (1)由得∴曲线C1:(x+4)2+(y-3)2=1
5、,C1表示圆心是(-4,3),半径是1的圆.曲线C2:+=1表示中心是坐标原点,焦点在x轴上,长半轴长是8,短半轴长是3的椭圆.其参数方程为(θ为参数)(2)依题设,当t=时,P(-4,4);且Q(8cosθ,3sinθ),故M(-2+4cosθ,2+sinθ).又C3为直线x-2y-7=0,M到C3的距离d=
6、4cosθ-3sinθ-13
7、=
8、5cos(θ+φ)-13
9、,从而当cosθ=,sinθ=-时,(其中φ由sinφ=,cosφ=确定)cos(θ+φ)=1,d取得最小值.1.从第(2)问可
10、以看出椭圆的参数方程在解题中的优越性.2.第(2)问设计十分新颖,题目的要求就是求动点M的轨迹上的点到直线C3距离的最小值,这个最小值归结为求关于参数θ的函数的最小值. (2013·开封质检)已知点P是椭圆+y2=1上任意一点,求点P到直线l:x+2y=0的距离的最大值.【解】 因为P为椭圆+y2=1上任意一点,故可设P(2cosθ,sinθ),其中θ∈[0,2π).又直线l:x+2y=0.因此点P到直线l的距离d==.所以,当sin(θ+)=1,即θ=时,d取得最大值.双曲线参数方程的应用 求证
11、:双曲线-=1(a>0,b>0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值.【思路探究】 设出双曲线上任一点的坐标,可利用双曲线的参数方程简化运算.【自主解答】 由双曲线-=1,得两条渐近线的方程是:bx+ay=0,bx-ay=0,设双曲线上任一点的坐标为(asecφ,btanφ),它到两渐近线的距离分别是d1和d2,则d1·d2=·==(定值). 在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时,使用曲线的参数方程非常简捷方便,其中点到直线的距离公式对参数形式的点的坐标仍适用,另外本题要注意公式sec2φ-
12、tan2φ=1的应用. 如图2-2-1,设P为等轴双曲线x2-y2=1上的一点,F1、F2是两个焦点,证明:
13、PF1
14、·
15、PF2
16、=
17、OP
18、2.图2-2-1【证明】 设P(secφ,tanφ),∵F1(-,0),F2(,0),∴
19、PF1
20、==,
21、PF2
22、==,
23、PF1
24、·
25、PF2
26、==2sec2φ-1.∵
27、OP
28、2=sec2φ+tan2φ=2sec2φ-1,∴
29、PF1
30、·
31、PF2
32、=
33、OP
34、2.抛物线的参数方程 设抛物线y2=2px的准线为l,焦点为F,顶点为O,P为抛物线上任一点
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