抛物线上的张角问题.doc

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1、1．我们说，在平面上，已知两个定点A、B，点P为平面上一点，从点P处观测A、B两点所成的角叫张角．2．若线段AB为定长的线段，点C为线段AB所在的直线外一点，连接AC，BC，我们称∠ACB为线段AB的张角．AB叫做张角∠ACB所对的张边．一、问题的提出：1．问题的提出：在平面直角坐标系中，已知A、B两定点，求具有某种属性的点P(如P在某函数图象上，又或点P的坐标具有某种关系)，使∠APB等于已知角a．2．问题解决的方法与步骤：下面以点P在某函数y＝f(x)的图象上为例来说明．特别的，当AB与坐标轴平行时，可构造斜射影相似来解决．(1)以

2、AB∥x轴为例来说明在射线AB上取点D，使，则∠ADP＝∠APB则△APD∽△ABP，则．设P(m，f(m))，所以C(m，)所以解方程可求出m的值，P点可求．(2)若点线段AB与x轴不平行时怎么办？可以采用以下方法：方法：过张角的顶点作坐标轴的平行线，构造一线三等角．如图：过点P作l∥x轴，再分别由A，B向l引垂线，垂足为C，D，在DC延长线上取点E，使，在CD延长线上取点F，使，则∠AEP＝∠BFP＝∠APB．可证△AEP∽△PFB则所以设P(m，f(m))，则PE，PF，与AE、BF均可用含m的代数式表示，则方程可解，点P的坐标可

3、解．3．对问题的解决提出质疑：以上问题可以过点P作x轴或y轴的平行线l，根据一线三等角创造相似三角形来解决，依然设P(m，f(m))，所以C(m，)，所以，解方程可求出m的值，P点可求．但当y＝f(x)为二次函数或反比例函数时，那么最后所得的方程均为一元高次方程!4．抛物线上的张角问题在平面直角坐标系中，已知A、B为抛物线y＝f(x)上的两定点．点P在y＝f(x)的图象上，若∠APB等于已知角a，求点P的坐标．显然，如果按照前面的做法去解决，结果会是高次方程，显然不行，因此，我们要寻找其它适合初中数学教学要求的方法．为解决此问题，我们首

4、先要掌握以下几个问题．一、问题准备1．解直角三角形的张角对张边的问题我们都知道，在解三角形的问题中，如果给出三角形的三个要素(不全是角)三角形即可解，但是有些条件的给出(初等方法可解)，如果方法不当解起来就很困难，这里我们仅条件集中在三角形中一个角、这个角所对的边，这个角所对的边上的高解三角形进行研究，我们把此类问题称之为解三角形中的“角对张边问题”．如图，在△ABC中，∠BAC＝a，AD⊥BC，垂足为D，设BD＝a，CD＝b，求高AD．如图，在锐角△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠BAC＝45°，若BD＝3，CD＝2．求AD的长．思

5、考一．根据图形变换，转换特殊模型．解法1：把△ABD沿AB翻折得到△ABE，把△ACD沿AC翻折得到△ACF．∴△ABE≌△ABD；△ACF≌△ACD．∴AE＝AD＝AF，BE＝BD＝3，CF＝CD＝2．∠E＝∠F＝90°，∠BAE＝∠BAD，∠CAF＝∠CAD，∴∠EAF＝2∠BAC＝90°，延长EB，FC相交于G，则四边形AEGF为正方形．设AD＝x，则BG＝x－3，CG＝x－2．在Rt△BCG中，由勾股定理可得：∴，解得：x＝6或x＝－1(舍去)，∴AD＝6．解法2：以AD为边作正方形ADEF，过点A作AG⊥AB，交EF于G，∴△

6、AGF≌△ABD，∴BD＝GF＝2，AG＝AB．∵∠BAC＝45°，∴∠GAC＝∠BAC，又AC＝AC．∴△ACG≌△ACB，∴CG＝BC＝5．设AD＝x，则EG＝x－3，CE＝x－2，在△Rt△CEG中，由勾股定理得：∴，解得：x＝6或x＝－1(舍去)，∴AD＝6．解法3：在射线DB上取点E，使DE＝AD，在射线DC上取点F，使DF＝AD．则AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝45°，∠EAF＝90°，把△AEB绕点A旋转，使AE于AF重合，得到△AFG，∴△AFG≌△AEB，∴FG＝EB，AG＝AB，∠AFG＝∠E＝45°，∴∠GAF＝

7、∠BAE，∴∠BAC＝∠EAF＝90°，又∠BAC＝45°，∴∠GAC＝∠BAC，∴△ACG≌△ACB，∴CG＝BC＝5，设AD＝x，则FG＝x－3，CF＝x－2．在Rt△CED中，由勾股定理得：∴，解得：x＝6或x＝－1(舍去)，∴AD＝6．思考二：构造一线三等角(M型)解法5：在BC的延长线上取点E，使CE＝AD，过点E作EF⊥CE，使EF＝CD，连接AF，∴△CEF≌△ADC，∴AC＝FC，∠CAF＝45°，∵∠BAC＝45°，∴∠BAF＝90°，连接BF，由勾股定理可得：，，∴，设AD＝x，则BE＝x＋5，∴∴，解得：x＝6或x

8、＝－1(舍去)，∴AD＝6．解法7：过点B作BE⊥AB，交AC的延长线于E，过点E作EF⊥BC，垂足为F，由上题可证△EBF≌△BAD．∴EF＝BD＝3，∵，∴，设AD＝x，∴∴，解得：x＝6或x＝－1(舍