浅谈圆锥曲线中的张角问题

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1、浅谈圆锥曲线中的张角问题沈春祥圆锥111］线屮的张角问题(特别是与焦半径和关的问题)是解析几何屮的一个综合性较强的重点内容。下面从儿个方面谈一谈与焦半径相关的张角问题的解题策略。一、曲线定义法我们可以利用椭圆的定义(IPFJ+IP笃l=2a)或双曲线的定义(IIPF

2、l-IP/J=2a)解△FfF?求得所需结果。V例1•椭圆—+^T=l(a>b>0)上一点P与两个焦点片，⑪的张处ZFPF°=a,求crtra证：AFjPFo的面积为沪tan—。2图1证明：pPF,1+1PF2l=2ti①[lPFJ2+1PF212-21PFx\PF2cosa=F}F22②①式平方与②式作差得：1

3、+COS6Zpf}\pf2=所以S△片阴=—IPF』P笃Isinah2sina1+cosof2abtan—2二、特征图象法利用椭圆或双曲线中a、b、c构成的特征三角形解决问题，有时学生感到比较胃观、好用。1.如图2,椭圆中，特征△OF2B2,其三边长分别为a、b、c,e=-=cosa(ew(O,1))。a2.如图3,双曲线中，特征△OA}B其三边长分别为C1a、b、c,e==acosa(ee(h+00))0利用这种方法我们可以解决下面这类问题。例2.已知双曲线的离心率是2,求它的两条渐近线的夹角。解：cosa=—=—,e2所以a=60°,2a=120°所以夹角为180°-120

4、°=60°o三、正弦定理法如果△现两个角，可以考虑应用正弦定理。XV例3・已知椭圆—+^=1(6/>/?>0)±一点P及两焦点片、代，若上PF”=a,crb_ZPF2F(=/?,试求椭圆的离心率。PFIPFI解：由正弦定理有一二」二sinpsincrsin[180°—(q+0)]即pf}mpf2=IF,F2Isina+sin0sin(a+0)所以e=-sin(<7+0)sina+sin0四、余弦定理法如果在△卩片耳中仅知一个角，我们经常要联想到余弦定理解决问题。例4・已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在X轴上，Fp尸2分别为左、右焦点，双曲线的右支上有一点P,ZFxPF2=.RA

5、PFxF2的而积为2品,双曲线的离心率为2,求该双曲线的方程。解：设双曲线的方程为二—・=1(q>0,b>0),F】(一c,0),F,(c,0),POo，儿)。在APFiF?中，由余弦定理，得IFjFJ2=1PF,I2+1PF212-21I•PF2•cosy=(PFi-PF2)2+PFl•IPFJ,即牡2=4a2+PF{•PF2乂因为S“fr=2>/3所以•IPFJsiny=2^3所以IPFJ•PF2=S所以4c・2=4/+8又因为^=-=2所以宀

6、3x~v所以所求双曲线方程为二-Z五、到角公式法有吋角不是特殊角，用余弦定理比较复杂，可以考虑利用直线人到仇的

7、角的公式来解。22例5.若椭圆二+冬=1（。＞b〉0）上有一点Q,到长轴两端点A、B所成的张角ZAQBa"=120°，试求离心率e的取值范围。解：因为椭圆是关于X轴対称的图形,所以不妨设点Q在X轴上方，即0（“），儿）（儿＞°）则其+丄=1,所以tanZAQB>0>10x()-ax()+aKIxQ-axQ+a_2与。所以_巧=—二—(1->lab2V3?因为一b

8、以片佗为直径的圆上的点为Q时，ZF,2F2于是P在以F

9、笃为直径的圆的内部，同时P在椭圆上。易知以巧血为直径的圆的方程为x2+y2=5o=5?JC9516y土还5即点Q横处标为土婕5所以点P横坐标取值范围是-琴_<学七、平面向量法利用以下结论，在厶f{pf2中1.ZF

10、PF2为锐角ocosZF[P坊〉0oPF〕•PF2>0:-»-》2.ZF,PF2为直角ocosZF

11、P坊=0o•PF2=O；->—>3.ZF

12、PF2为钝角ocosZF[P坊v0OPF〕•PF2<0□有关角的问题nJ以用向量形式表示，再来求解。X2y2例7・已知曲线C的方程为一+—=1,A(-1,0),B(1,0),过点B

13、的直线/少曲43线C交于M,N两点，若ZMAN为钝角，求直线/的倾斜角为a的収值范围。解:(1)若/丄x轴，贝霁的方程为x=lnM(l,—)，N(l,--22ZA/A/V=2arctan-<90°(不合题意)。4(2)若/与x轴重合，则ZMAN=Ji(不合题意)。(3)若/与x轴、y轴不垂直，设人)，=饥兀—1)伙工0),代入曲线C的方程得(3+4/:2)x2-8^2x+4/:2-12=0设MO】，yj,Ng,y2)=>8k23+4/、XxX2