柱坐标系和球坐标系中速度_加速度表达式的一种简易推导_杜明铸.pdf

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1、2008年6月河套大学学报Jun，2008第5卷第2期Vel.5No.2柱坐标系和球坐标系中速度、加速度表达式的一种简易推导杜明铸（河套大学机械电子工程系，内蒙古巴彦淖尔市015000）[摘要]本文利用初等几何、偏微分知识推导正交曲线坐标系下，速度和加速度的表达式。最后给出柱坐标系和球坐标系中速度和加速度的具体表达式。[关键词]正交曲线坐标；速度；加速度；柱坐标系；球坐标系[中图分类号]O311[文献标识码]A[文章编号]15-116/C(2008)02-0018-006引言从理论上说，任何物理问题的求解，选

2、用什么样的坐标系，都是可以的。但是，如果在求解实际问题时，坐标系选取不恰当，会使问题变得复杂，有时可能无法求解。这种情况在数学中也经常遇到，比如求解二重和三重积分、数理方程的分离变量时，都存在坐标系选取的问题。所以，有必要知道各种物理量在不同坐标系下的表达式。本文由正交曲线坐标系和直角坐标系的关系，借助初等几何和偏微分知识导出曲线坐标系下速度和加速度的分量表达式。速度和加速度在各种理论力学书中都有推导，但是推导过程所用的数学知识较多，对初学物理的人不易掌握。下面笔者给出一种简易的推导方法。首先，给出速度、加速

3、度在正交坐标系中的一般表达式，其次给出物理学中常用的柱坐标系和球坐标系中的表达式。1．一般情况K将空间中一点的矢径r看作是三个独立实变量q,q,q的函数,即123KKr=r()q,q,q(1)123式中q,q,q就是所说的正交曲线坐标。它和直角坐标x,y,z的关系为123⎧x=x(q1,q2,q3)⎪⎨y=y(q1,q2,q3)(2)⎪z=z(q,q,q)⎩123————————————————————[收稿日期]2007-10-11[作者简介]杜明铸（1961-），男，内蒙古巴彦淖尔市人，河套大学机械与电子

4、工程系讲师。18因为x,y,z是相互独立的，且假定在q1,q2,q3的变化区域内对所有x,y,z是单值的。q1,q2,q3也是相互独立的。故有逆变换⎧q1=q1(x,y,z)⎪⎨q2=q2(x,y,z)(3)⎪q=q(x,y,z)⎩33K同理，r也可由x,y,z表示KGr=r(x,y,z)(4)KKK我们用i，j，k表示x,y,z方向的单位矢量，则（4）式的具体表达式为KKKKr=xi+yj+zk(5)KKKKKKi,j,k大小和方向是不随时间的改变而改变的，它们是常矢量，所以i,j,k对时间t的微分为零。下

5、面给出速度、加速度从直角坐标系到正交坐标系中的一般推导过程。首先，（5）两边对时间求导，得GKKKGv=r=ix+jy+kz(6)x,y,z是速度在x,y,z上的分量。将（2）式两边对时间求导，得⎧∂xdq∂xdq∂xdq123⎪x=⋅+⋅+⋅∂qdt∂qdt∂qdt⎪123⎪∂ydq∂ydq∂ydq123⎨y=⋅+⋅+⋅⎪∂q1dt∂q2dt∂q3dt(7)⎪∂zdq∂zdq∂zdq⎪z=⋅1+⋅2+⋅3∂qdt∂qdt∂qdt⎩123在上面的求导中，必须注意x,y,z是q1,q2,q3

6、的函数，同时q1,q2,q3又是时间t的函数。利用几何学的知识可以得出KKKKK⎧i=i(e1,e2,e3)⎪KKKKK⎨j=j(e1,e2,e3)(8)⎪KKKKK⎩k=k(e1,e2,e3)KKKKKK式中的e,e,e是所说的正交坐标轴上的单位矢量。e,e,e的大小不随时间变化，而方向是随123123KKK时间的改变而改变，所以说e,e,e是变矢量，其对时间的导数不为零。123把（7）、（8）式代入（6）就可得出正交坐标系中速度的表达式。同理（5）式对时间求二阶导数或（6）对时间求一阶导数，得19KKKK

7、KKa=v=r=ix+jy+kz(9)x,y,z是直角坐标系中加速度的分量，（2）式两边对时间求二阶导数或（7）式对时间求一阶导数，就可得到x，y，z。因其表达式较繁，这里就不给出推导过程和具体形式。这样，只要把（8）和x，y，z的表达式代入（9）式，就可求出正交坐标系中加速度的表达式。2．柱坐标系中（ρ，θ，ｚ）的具体表达式由数学知识可知，柱坐标（ρ，θ，ｚ）和直角坐标(x，y，z)之间的关系为ZJJGJJGeZeθJJGGeρrGkGGOjiYθJJG

8、eJJGZeρθXJJGeρ图一⎧x=ρcosθ(10)⎪⎨y=ρsinθ⎪⎩zz=由图一可得：KKK⎧iee=cosθ−sinθρθ⎪KKK(11)⎨jee=sinθ+cosθρθ⎪KK⎩ke=zKKKKKK式中的ee,，e就是柱坐标三轴方向的单位矢量，相当于前面推导中的e，e，e。ρθz123（10）式两边对时间求一阶导数，得⎧x=ρcosθ−ρθsinθ⎪(12)⎨y=ρsinθ+ρ