2015高考数学――专题十四 空间向量.doc

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1、专题十四空间向量、空间几何体、立体几何1.（15北京理科）设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：因为，是两个不同的平面，是直线且．若“”，则平面可能相交也可能平行，不能推出，反过来若，，则有，则“”是“”的必要而不充分条件.考点：1.空间直线与平面的位置关系；2.充要条件.2.（15北京理科）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是A．B．C．D．5【答案】C【解析】试题分析：根据三视图恢复成三棱锥，其中平面ABC，取AB棱的中点D，连接CD、PD，有，底面

2、ABC为等腰三角形底边AB上的高CD为2，AD=BD=1,PC=1,,,，,三棱锥表面积.考点：1.三视图；2.三棱锥的表面积.3.（15北京理科）如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，，为的中点．(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)求二面角的余弦值；(Ⅲ)若平面，求的值．【答案】(1)证明见解析，（2），（3）【解析】试题分析：证明线线垂直可寻求线面垂直，利用题目提供的面面垂直平面平面，借助性质定理证明平面EFCB，进而得出线线垂直，第二步建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，平面AEF的法向量易得，只需求平面AEB的法向量，设平面AEB的法向量，利用线线垂直，数量积为零，列方程

3、求出法向量，再根据二面角公式求出法向量的余弦值；第三步由于，要想平面，只需，利用向量的坐标，借助数量积为零，求出的值，根据实际问题予以取舍.试题解析：(Ⅰ)由于平面平面，为等边三角形，为的中点，则，根据面面垂直性质定理，所以平面EFCB，又平面，则.(Ⅱ)取CB的中点D，连接OD,以O为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，，，，由于平面与轴垂直，则设平面的法向量为，设平面的法向量，，，则，二面角的余弦值，由二面角为钝二面角，所以二面角的余弦值为.（Ⅲ）有（1）知平面EFCB，则，若平面，只需，，又，，解得或，由于，则.考点：1.线线垂直的证明；2.利用法向量求二面角；3.利用

4、数量积解决垂直问题.4.（15北京文科）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：四棱锥的直观图如图所示：由三视图可知，平面ABCD，SA是四棱锥最长的棱，.考点：三视图.5.（15北京文科）如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，，分别为，的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面平面；（Ⅲ）求三棱锥的体积．【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析；（3）.【解析】试题分析：本题主要考查线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、空

5、间想象能力、逻辑推理能力、转化能力、计算能力.第一问，在三角形ABV中，利用中位线的性质得，最后直接利用线面平行的判定得到结论；第二问，先在三角形ABC中得到，再利用面面垂直的性质得平面VAB，最后利用面面垂直的判定得出结论；第三问，将三棱锥进行等体积转化，利用，先求出三角形VAB的面积，由于平面VAB，所以OC为锥体的高，利用锥体的体积公式计算出体积即可.试题解析：（Ⅰ）因为分别为AB，VA的中点，所以.又因为平面MOC，所以平面MOC.（Ⅱ）因为，为AB的中点，所以.又因为平面VAB平面ABC，且平面ABC，所以平面VAB.所以平面MOC平面VAB.（Ⅲ）在等腰直角三角形

6、中，，所以.所以等边三角形VAB的面积.又因为平面VAB，所以三棱锥C-VAB的体积等于.又因为三棱锥V-ABC的体积与三棱锥C-VAB的体积相等，所以三棱锥V-ABC的体积为.考点：线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积公式.6.（15年广东理科）若空间中个不同的点两两距离都相等，则正整数的取值A．大于5B.等于5C.至多等于4D.至多等于3【答案】．【考点定位】本题考查空间想象能力、推理能力，属于中高档题．7.（15年广东理科）如图2，三角形所在的平面与长方形所在的平面垂直，，，.点是边的中点，点、分别在线段、上，且，.（1）证明：；（2

7、）求二面角的正切值；（3）求直线与直线所成角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）；（3）．【解析】（1）证明：∵且点为的中点，∴，又平面平面，且平面PABCDEFG平面，平面，∴平面，又平面，∴；（2）∵是矩形，∴，又平面平面，且平面平面，平面，∴平面，又、平面，∴，，∴即为二面角的平面角，在中，，，，∴即二面角的正切值为；（3）如下图所示，连接，∵，即，∴，∴为直线与直线所成角或其补角，在中，，，由余弦定理可得，∴直线与直线所成角的余弦值为．PABCDEFG【考点定位】本题考查直线与直线垂直、二面角