高考数学专题复习17空间向量及应用

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1、高考数学专题复习17空间向量及应用★★★高考在考什么【考题回放】1．在正方体A1B1C1D1-ABCD中，M、N分别是棱A1A和B1B的中点，若θ为直线CM与D1N所成的角，则sinθ等于（）A．B．C．　　D．2．直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=900,AC=AA1=a，则点A到平面A1BC的距SACBD离是（C）A．aB．aC．D．a3．如图，正四面体S-ABC中，D为SC的中点，则BD与SA所成角的余弦值是（C）A．B．C．D．4．在正三棱锥P-ABC中，M、N分别是侧棱PB、PC的中点，若截面AMN⊥侧面PBC，则此三棱锥的侧棱与底面所成角的正切值是（C）A．B．

2、C．D．5．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BAC=900，AB=BB1=1，直线B1C与平面ABC成300角，则二面角B-B1C-A的正弦值。6．在三棱锥S—ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点。（1）证明：AC⊥SB；（2）求二面角N—CM—B的大小；（3）求点B到平面CMN的距离．【专家解答】（1）取AC中点O，连结OS、OB．∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SO且AC⊥BO．∵平面SAC⊥平面ABC，∴SO⊥面ABC，∴SO⊥BO．如图建立空间直角坐标系O－xyz．则A（2，0，0），B（0，2，0

3、），C（－2，0，0），S（0，0，2），M(1，，0)，N(0，，)．∴=（－4，0，0），=（0，2，－2），∵·=（－4，0，0）·（0，2，－2）=0，∴AC⊥SB．（2）由（1）得=（3，，0），=（－1，0，）．设n=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，∴n=(，－，1)，又=(0，0，2)为平面ABC的一个法向量，∴cos(n，)==．∴二面角N－CM－B的大小为arccos．（3）由(1)(2)得=(－1,,0)，n=(,－,1)为平面CMN的一个法向量∴点B到平面CMN的距离d==．★★★高考要考什么【考点透视】用空间向量可以解决的立体几何问题有：1．利用两个

4、向量共线和共面定理,可证明有关线线平行,线面平行,面面平行问题2．利用两个向量垂直的充要条件可以证明有关线线,线面,面面垂直问题3．利用两个向量的夹角公式可以求解有关角的问题4．利用向量的模及向量在单位向量上的射影可以求解有关的距离问题【热点透析】空间向量解立体几何问题的基本步骤是：1．建立适当的坐标系；2．确定相关点的坐标；3．求平面的法向量；4．利用公式求答案。★★★突破重难点【范例1】如图,在直三棱柱中，,点为的中点(Ⅰ)求证;(Ⅱ)求证：平面;(Ⅲ)求异面直线与所成角的余弦值解：∵直三棱锥底面三边长，两两垂直如图建立坐标系，则C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0

5、,4),B(0,4,0),B1(0,4,4),D(,2,0)(Ⅰ),(Ⅱ)设与的交点为E，则E(0,2,2)，(Ⅲ)∴异面直线与所成角的余弦值为【点晴】在具有三维直角的立体几何题中常使用空间向量方法，证明线面垂直即证明直线的方向向量与平面的法向量平行，另外注意异面直线所成角为锐角。【文】如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝PA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．(Ⅰ)求证∥平面(Ⅱ)求直线与平面PBC所成角的大小；解析（1）。【点晴】注意空间坐标系的选取，证明线面平行即证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，另外注意线面所成的角与直线方向向量和法向量所

6、成角的关系。【范例2】如图，以正四棱锥V—ABCD底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系O—xyz，其中Ox//BC，Oy//AB．E为VC中点，正正四棱锥底面边长为2a，高为h．（Ⅰ）求（Ⅱ）记面BCV为α，面DCV为β，若∠BED是二面角α—VC—β的平面角，求∠BED．解：（I）由题意知B(a，a，0)，C(―a，a，0)，D(―a，―a，0)，E由此得（II）若∠BED是二面角α—VC—β的平面角，则，即有=0．又由C（－a，a，0），V（0，0，h），有且即这时有【点晴】本小题主要考查应用向量知识解决立体几何的能力，注意面面所成角与两法向量所成角的关系。【文】如图，直三棱

7、柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=1，CB=，侧棱AA1=1,侧面AA1B1B的两条对角线交点为D，B1C1的中点为M。求证：(1)CD⊥平面BDM；(2)求面B1BD与面CBD所成二面角的大小。解：以C为原点建立坐标系。(1),则，∵A1B、DM为平面BDM内两条相交直线，∴CD⊥平面BDM。(2)设BD的中点为G,连结B1G,则，，∴的夹角等于所求二面角的平面角.所以所求的二面角等于【点晴】本小题坐标系的建立容易想到，用直线与平面内两不共线向量垂直