3、的结论计算可得线段DP的长为止.试题解析：依题意，可以建立以D为原点，分别以DA,DC,DG的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得D（0,0,0）,A（2,0,0）,B（l,2,0）,C（0,2,0）,了3E（2,0,2）,F（0,l,2）,G（0,0,2）,M0,牙，1,N（1,0,2）・IZ丿即｛2y=0,2x+2z=0,nQ•DC=0,nQ•DE=0,可得MN・％=0,=（兀,儿£）为平面0侧的法向量，则｛nBC=0,mFn•BE=0,即｛—x=Q、x—2y+2z=0,（I）依题意DC=（0,2,0）,D
4、E=（2,0,2）设%=（jc,y,z）为平ifij-CDE的法向量,则｛MN=不妨令z=-l,可得吗=（1,0,—1）・又又Q直线MN（Z平面CDE,:.MN｝｝平面CDE.（II）依题意，可得BC=（TO0）,歸=（1,-2,2）,CF=（03-l32）不妨令z=l,可得n=（O=l=l）.设m=｛x3y3z）^平面MF的法向量〉则｛m-BC=Q,mFmCF=^即｛—x=Q,—y+2n=0,不妨令2=1,可得m=（0,2,1）-因此有cos〈/n,心==3丁^,于是sin〈〃2,n）=-V7X7m\10'/10所以，二而角E
5、-BC-F的正弦值为亟.10(Ill)设线段DP的长为/i(/?e[0,2]),则点P的坐标为(0,0,力)，可得BP=(—1,—2,/?).易知，DC=((),2,0)为平面ADGE的一个法向量，故cos(BP-DC\=,2'
6、bp
7、
8、dc
9、7^75由题意，可得/2=血60。=迺,解得/?=—e[0,21.所以线段DP的长为V7^7523L」3【名师点睛】本题主要考查空间向量的应用，线血平行的证明，二血角问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.【母题原题2][2017天津，理17】如图，在三棱锥P~ABC屮,以丄底面昇从7
10、,ZBAC=90°.点〃，E,艸分别为棱％>q力的屮点，対是线段畀〃的中点，PA=AC=4fAB-2.(I)求证：丿側〃平面BDE；(II)求二面角GEM~N的正弦值;(III)己知点〃在棱刊上，且直线八〃与直线朋所成角的余弦值为V721,求线段/!〃的长.【答案】⑴证明见解析；(2普;(3)14-【解析】试题分析：本小题主要考查直线与平面平行、二面角、异面直线所成的角等基础知识一考查用空间向量解决立体几何冋題的方法•考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力•首先要建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，证明线面平行只需求出平面的法
11、向量，计算直线对应的向量与法向量的数量积为0,求二面角只需求出两个半平面对应的法向量'借助法向量的夹角求二面角〉利用向量的夹角公式〉求出异面直线所成角的余弦值，利用已知条件,求出AH的值.试题解析：如图，以/为原点，分别以AB,AC,4P方向为/轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得A(0,0,0),〃(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),J/(0,0,1),;V(1,2,0).(I)证明：DE二(0,2,0),DB=(2,0,-2).设/i=(x,^z),为平面宓的法向量，
12、则.nDE=°t即『y=O.不妨设z=],可得“=(1,0,1).又MN=(1,2,-1),可得MN・n=O.n-DB=O[2x-2z=0・.・MNa平面BDE,:.MN//平面BDE.(II)易知坷=(1
