正态分布参数估计的共轭分布法.pdf

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1、辽宁大学学报JOURNALOFLIAONINGUNIVERSITY自然科学版NaturalSciencesEdition第27卷第2期2000年Vol.27No.22000正态分布参数估计的共轭分布法董平(辽宁中医学院基础部,辽宁沈阳110032)摘要:对正态分布的性质及正态近似和求其共轭分布的意义和方法进行了分析和归纳.关键词:正态分布;中心极限定理;共轭分布;参数估计.中图分类号:O211.3文献标识码:A文章编号:1000-5846(2000)02-0114-04正态分布是数理统计学中最重要的概率分布.本文对正态分布的性质、正态近似及寻求共轭分布的意义和参数估计方法进行了分析和归纳

2、,旨在加深对正态分布的认识和了解,以便更好地服务于教学,应用于实践.1定义及性质若随机变量X的概率密度函数为21-(x-μ)f(x)=e2,-∞0均为常数,则称X服从正态分布,记2为X～N(μ,σ)特别地,当μ=0,σ=1时,称概率密21-x度为φ(x)=e2的随机变量X服从2π标准正态分布,记为X～N(0,1)图1正态分布的密度函数图形称为正态曲线,又叫高斯曲线(如图1)有以下性质:(1).f(x)>0密度函数曲线在x轴的上方.∞(x-μ)2∞∞x2+y2(2).∫1e-2dx=1事实上,利用重积分I=∫∫e-2dxdy,设2σ-∞-∞-∞σ2πx,yx=r

3、cosφ,y=rsinφ,(0≤r<∞,0≤φ<2π)易知变换的雅可比行列式J()=r,于是r,φ收稿日期:1999-06-09作者简介:董平(1952-),女,辽宁沈阳市人,副教授,从事数理统计学数学与研究作者:董平正态分布参数估计的共轭分布法115∞2πr2∞x2∞x2∞--2-I=∫∫e2rdrdφ=2π,但I=[∫e2dx],于是∫e2dx=I=2π,所以∫00-∞-∞-∞21-xx-μe2dx=1,再设=t即证得正态曲线下面积等于1.2πσ当μ固定时,σ愈大,曲线f(x)就愈平、愈宽.反之曲线就越尖愈窄.显然,当μ与σ给定时,一个正态分布就被完全确定,这是不同于其他概率分布的一

4、个重要特性.21-(μ+m-μ)1-(μ-m-μ)2(3).对称性因为f(μ+m)=e2=e=f(μ-m)2σσ2πσ2π所以曲线关于直线x=μ对称.2μ-x-(x-μ)(4).增减性f′(x)=e2,当x<μ时,f(x)递增(f′(x)>0),当x>μ2σ3σ2π时,f(x)递减(f′(x)<0).1(5).最大值曲线是单峰的,在x=μ时,f(x)取最大值,其值为.σ2π2(x-μ)21(x-μ)(6).凹向与拐点f″(x)=[-1]e2322σσ2πσ1)当μ-σ0,曲线凹向上;3)

5、在x=μ±σ处有拐点.(7).渐近线因为limf(x)=0,所以f(x)以x轴为渐近线.x※±∞2x-μ(8).线性性质正态分布的线性变换仍为正态分布,若X～N(μ,σ),则u=σ～N(0,1)称为标准正态化.由于任何一个正态分布都可化成标准正态分布,因此,所有正态分布的概率计算都可归到标准正态分布进行计算.(9).正态曲线下面积的分布规律利用分布函数表可近似算得P(x-μ<σ)=68.26%;P(x-μ<σ)=95.45%;P(x-μ<σ)=99.73%也就是说,随机变量x的可取值以接近于1的概率落在区间(μ-3σ,μ+3σ)之内,称为正态分布的3σ规则.在医学上可用来估计医学正常值范

6、围与质量控制.2有关正态近似常见的离散型分布如二项分布、泊松分布等,在一定的条件下以正态分布为它们的极限分布,其正态近似的理论依据来自于统计学中最著名的中心极限定理,一个普遍常用的中心极限定理是:2设X1,X2,,…Xn,…为相互独立的随机变量,且E(Xi)=μ,D(Xi)=σ,则对于任意实数x,都有n1x∑Xi-μt2ni=11-limP[≤x]=∫e2dt即当n充分大时,无论各个随机变量Xi(in※∞-∞σ/n2πn=1,2,…)具有怎样的分布,只要满足定理所给的条件,随机变量∑Xi渐近地服从正态分i=1116辽宁大学学报自然科学版2000年第2期布.显然这是正态分布广泛应用的原因.

7、因为在许多实际问题中,所考虑的随机变量常常可以表成很多影响微小的相互独立的随机变量之和,诸如医学实验中的随机误差等,它们往往近似服从正态分布,中心极限定理从理论上指出这种近似的合理性,使许多复杂的统计问题变得易于处理.因此说中心极限定理是数理统计中大样本统计推断的理论基础.3正态分布的共轭分布及意义参数估计是统计推断的重要内容,对于正态分布的二个参数μ和σ的估计,除有许多经典的方法之外,还可利用贝叶斯估计,而这首先必须选择合适的先验