高考数学一轮复习 圆的方程导学案 文.doc

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1、吉林省东北师范大学附属中学2015届高考数学一轮复习圆的方程导学案文一、知识梳理1.圆的方程（1）圆的标准方程圆心为（a，b），半径为r的圆的标准方程为（x－a）2+（y－b）2=r2.说明：方程中有三个参量a、b、r，因此三个独立条件可以确定一个圆.（2）圆的一般方程二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0.（*）将（*）式配方得（x+）2+（y+）2=.当D2+E2－4F＞0时，方程（*）表示圆心（－，－），半径r=的圆，把方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2－4F＞0）叫做圆的一般方程.说明：①圆的

2、一般方程体现了圆方程的代数特点：（Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0）a.x2、y2项系数相等且不为零.b.没有xy项.②当D2+E2－4F=0时，方程（*）表示点（－，－），当D2+E2－4F＜0时，方程（*）不表示任何图形.③据条件列出关于D、E、F的三元一次方程组，可确定圆的一般方程.二、题型探究[题型探究一]圆的标准方程1.方程x2+y2－2（t+3）x+2（1－4t2）y+16t4+9=0（t∈R）表示圆方程，则t的取值范围是A.－1

3、E2－4F>0，得7t2－6t－1<0，即－0），下列结论错误的是A.当a2+b2=r2时，圆必过原点B.当a=r时，圆与y轴相切C.当b=r时，圆与x轴相切D.当b

4、为r，当b

5、b

6、，只有当

7、b

8、

9、b

10、

11、－2=0.答案：x2+y2－x－2y－2=0[题型探究二]圆的方程的应用：【例1】（2003年春季北京）设A（－c，0）、B（c，0）（c>0）为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a（a>0），求P点的轨迹.剖析：给曲线建立方程是解析几何的两个主要问题之一，其基本方法就是把几何条件代数化；主要问题之二是根据方程研究曲线的形状、性质，即用代数的方法研究几何问题.解：设动点P的坐标为（x，y），由=a（a>0）得=a，化简，得（1－a2）x2+2c（1+a2）x+c2（1－a2）+（1－a2）y2=0

12、.当a=1时，方程化为x=0.当a≠1时，方程化为（x－c）2+y2=（）2.所以当a=1时，点P的轨迹为y轴；当a≠1时，点P的轨迹是以点（c，0）为圆心，

13、

14、为半径的圆.评述：本题主要考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力，对代数式的运算化简能力有较高要求.同时也考查了分类讨论这一数学思想.【例2】一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为2，求此圆的方程.剖析：利用圆的性质：半弦、半径和弦心距构成的直角三角形.解：因圆与y轴相切，且圆心在直线x－3

15、y=0上，故设圆方程为（x－3b）2+（y－b）2=9b2.又因为直线y=x截圆得弦长为2，则有（）2+（）2=9b2，解得b=±1.故所求圆方程为（x－3）2+（y－1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9.评述：在解决求圆的方程这类问题时，应当注意以下几点：（1）确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程；（2）根据几何关系（如本例的相切、弦长等）建立方程求得a、b、r或D、E、F；（3）待定系数法的应用，解答中要尽量减少未知量的个数.【例3】已知⊙O的半径为3，直线l与⊙O相切，一动圆与l相切，并与⊙O相交

16、的公共弦恰为⊙O的直径，求动圆圆心的轨迹方程.剖析：问题中的几何性质十分突出，切线、直径、垂直、圆心，如何利用这些几何性质呢？解：取过O点且与l平行的直线为x轴，过O点且垂直于l的直线为y轴，建立直角坐标系.设动圆圆心为M（x，y），⊙O与⊙M的公共弦为AB，⊙M与l切于点C，则

17、MA

18、=

19、MC

20、.∵AB为⊙O的直径，∴MO垂直平分AB于O.由勾股定理得

21、MA

22、2=

23、MO