梅涅劳斯(Menelaus)定理的十种证明.pdf

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1、中学数学杂志２０１５年第９期ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ梅涅劳斯（Ｍｅｎｅｌａｕｓ）定理的十种证明河南郑州外国语学校４５０００１杨春波梅涅劳斯定理是平面几何学以及射影几何学中的ＡＦ·ＥＦＢＤ·ＤＦＤＥ·ＣＥＡＦ三式相乘得１＝··＝一项基本定理，具有重要作用，其具体内容为：设直线ｌＦＢ·ＤＦＤＣ·ＤＥＥＡ·ＥＦＦＢ分别与△ＡＢＣ的三边（或边的延长线）相交于点Ｄ、Ｅ、ＢＤＣＥ··，得证．ＡＦＢＤＣＥＤＣＥＡＦ，则有··＝１．ＦＢＤＣＥＡ注共边定理和共角定理源自于张景中院士的［１］直线ｌ与三角形的三边相交，有两种情形：（１）其面积法，下面是定理的具体内容

2、．中两个交点在边上，一个交点在边的延长线上，如图１；共边定理若直线ＡＢ和ＰＱ相交于点Ｍ（如图５，（２）三个交点均在边的延长线上，如图２．Ｓ△ＰＡＢＰＭ有４种情形），则有＝．ＳＱＭ△ＱＡＢ图１图２梅涅劳斯定理在处理直线形中线段长度比例的计算图５时，尤为快捷．值得一提的是，其逆定理也成立，可作为三点共角定理如图６，若共线、三线共点等问题的判定方法．下面给出梅涅劳斯定∠ＡＢＣ和∠ＸＹＺ相等或互理的十种精彩证明，证明中仅以图１作为示例．Ｓ△ＡＢＣＡＢ·ＢＣ证法１平行线法补，则有＝．ＳＸＹ·ＹＺ△ＸＹＺ如图３，过点Ｃ作ＣＧ∥ＤＦ交ＡＢ于点Ｇ，则证法４辅助平面法ＢＤＢＦ

3、ＣＥＧＦ＝，＝，如图７，过截线ｌ作平面图６ＤＣＦＧＥＡＦＡα，设顶点Ａ、Ｂ、Ｃ到该平面ＡＦＢＤＣＥＡＦＢＦＧＦ故··＝··＝１．的距离分别为ｄ、ｄ、ｄ，则有ＦＢＤＣＥＡＦＢＦＧＦＡＡＢＣＡＦｄＡＢＤｄＢＣＥｄＣ＝，＝，＝，三式相乘即得证．ＦＢｄＤＣｄＥＡｄＢＣＡ图３图４证法２共边定理法ＡＦＢＤＣＥＳ△ＡＥＤＳ△ＢＥＤ如图４，由共边定理知··＝·ＦＢＤＣＥＡＳ△ＢＥＤＳ△ＣＥＤ图７图８Ｓ·△ＣＥＤ＝１．该证明曾在网上被大量转载，被称为令人感动的Ｓ△ＡＥＤ证明．文［２］中也收录了该证明，并称“上面这种方法恐证法３共角定理法怕是最帅的一种了．它解决了其他证明方法缺

4、乏对称如图１，由共角定理知性的问题，完美展示了几何命题中的对称之美”．其实，Ｓ△ＡＥＦＡＦ·ＥＦＳ△ＢＦＤＢＤ·ＤＦＳ△ＣＤＥ＝，＝，＝何必要在空间中作一个辅助平面呢，且看单墫先生在ＳＦＢ·ＤＦＳＤＣ·ＤＥＳ△ＢＦＤ△ＣＤＥ△ＡＥＦＤＥ·ＣＥ文［３］中给出的精彩证明．，ＥＡ·ＥＦ证法５垂线法２７ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ中学数学杂志２０１５年第９期如图８，分别自Ａ、Ｂ、Ｃ向ｌ作垂线，设垂线段的长ＡＦＢＤＣＥｓ１ｓＣ，于是··＝ｒ··＝１．ＡＦｐＢＤｑＣＥｒＦＢＤＣＥＡｒｓ度分别为ｐ、ｑ、ｒ，则＝，＝，＝，三式相乘ＦＢｑＤＣｒＥＡｐ质点法直接让几何

5、学里最基本的元素———点参即得证．与运算，稍微修改就可得向量证法：在△ＡＢＣ所在平面证法６正弦定理法→＝ｒＦ→Ｂ→＝ｓＥ→Ｃ内任取一点Ｏ，设ＡＦ，ＡＥ，则有ＡＦ→→→→→→在△ＡＥＦ、△ＢＤＦ、△ＣＤＥ中，由正弦定理得·（１＋ｒ）ＯＦ＝ＯＡ＋ｒＯＢ，（１＋ｓ）ＯＥ＝ＯＡ＋ｓＯＣ，ＦＢ→→→→ＢＤＣＥＡＦＢＤＣＥｓｉｎ∠ＡＥＦｓｉｎ∠ＢＦＤ两式相减得（１＋ｒ）ＯＦ－（１＋ｓ）ＯＥ＝ｒＯＢ－ｓＯＣ，·＝··＝··→→→ＤＣＥＡＥＡＦＢＤＣｓｉｎ∠ＡＦＥｓｉｎ∠ＦＤＢ又ＦＥ与ＢＣ交于点Ｄ，故有ｒＯＢ－ｓＯＣ＝（ｒ－ｓ）ＯＤ，ｓｉｎ∠ＥＤＣ→ｓ→ＡＦＢＤＣＥｓ１，因

6、∠ＡＥＦ＝∠ＣＥＤ，∠ＢＦＤ＋∠ＡＦＥ＝１８０°，则ＢＤ＝ＣＤ，于是··＝ｒ··＝１．ｓｉｎ∠ＣＥＤｒＦＢＤＣＥＡｒｓ∠ＥＤＣ＝∠ＦＤＢ，故上式右端乘积为１，得证．以上过程中点Ｏ是任意的，并不起实质性作用，完证法７向量法全可以省略不写，用一个字母表示向量，这就是质点几→→→→→→设ＡＦ＝λＦＢ，ＢＤ＝μＣＤ，ＣＥ＝γＥＡ，即证λμγ＝１．何了．质点法的最新研究成果是建立了能处理希尔伯→→→１→γ→１→特交点类命题的仿射几何机器证明算法ＭＰＭ（Ｍａｓｓ－ＤＥ＝ＤＣ＋ＣＥ＝ＣＢ＋ＣＡ＝ＡＢμ－１γ＋１μ－１Ｐｏｉｎｔ－Ｍｅｔｈｏｄ），并编写了Ｍａｐｌｅ程序，验算

7、了几百个１γ→非平凡命题，不仅效率高，程序自动生成的证明也有可－（＋）ＡＣ；μ－１γ＋１读性，这一工作是广州大学邹宇博士在张景中院士的→→→λ→１→指导下完成的．最后给出梅涅劳斯定理的机器证明，算ＥＦ＝ＡＦ－ＡＥ＝ＡＢ－ＡＣ．λ＋１γ＋１作第十种证法．→→１证法１０机器证明由Ｄ、Ｅ、Ｆ三点共线，知ＤＥ与ＥＦ共线，故·μ－１Ａ，Ｂ，Ｃ１＝λ１＋γ（１＋ｒ１）Ｄ＝Ｂ＋ｒ１Ｃ（），整理即λμγ＝１．γ＋１λ＋１μ－１γ＋１（１＋ｒ２）Ｅ＝Ｃ＋ｒ２Ａ证法８坐标法Ｆ＝（ＡＢ）∩（ＤＥ）→→设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），Ｃ（ｘ３，ｙ３），且ＡＦ＝λＦＢ，ｒ１（１

8、＋ｒ２）ＥＤ－＝Ｂ→Ｄ＝μＤ→Ｃ，Ｃ→Ｅ＝γＥ→Ａ，