高二数学绝对值不等式专题.doc

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1、高二数学绝对值不等式专题[题目]：简单绝对值不等式研究进阶　　[重点]：对不等式性质的深入研究　　[难点]：多绝对值符号不等式　　[内容]　　一、对于下例我们通常采取“几何意义”法　　例1．求解关于x的不等式：1<

2、x-2

3、≤3　　分析：将不等式的几何意义翻译如下：“求数轴上到2这点距离绝对大于1又小于等于3的点。”　　显然画出数轴我们有　原不等式的解集[-1,1)∪(3,5]。　　同样使用几何意义方法分析可以方便解决的问题还有下例这样的双绝对值不等式：　　例2：求解关于x的不等式：

4、x+10

5、+

6、x-2

7、>4　　分析：用几何意义翻译如下：“求

8、数轴上到-10与到2的距离和小于4的点。”　　看数轴　　　　　-10，2将数轴分成3部分，各点到这两点距离之和以[-10，2]区间上的取值最小，为12。因此我们知道不等式左侧的最小值为12，恒大于4，由此我们有：原不等式的解集为R。深入一步我们会想这样的问题：如果现在左侧是三个绝对值符号（或更多），这样的不等式我们能不能解呢？答案是肯定的，对于处理绝对值符号的基本方法：分区间确定符号在这里仍然有效，无非是n个一次零点将数轴分成n+1段，逐段讨论。当然这里n较大时讨论的计算量也随之加大。那我们有没有简单直接的方法呢？　　首先我们有如下共识：不等式

9、f(x)>0的解集是函数y=f(x)图象在x轴上方对应的x的集合。进而：不等式f(x)>m(m∈R)的解集是函数y=f(x)图象在直线y=m上方对应的x的集合。当然，f(x)

10、x-x1

11、+

12、x-x2

13、+

14、x-x3

15、+……+

16、x-xn

17、>m　　其中xi(i=1,2,……,n)是常数的问题就转化成了，求作左侧函数图象的问题。这里我们不妨作出几个草图，从中观察一些规律。　　函数y1=

18、x-2

19、　　草图：　　函数y2=

20、x-2

21、+

22、x+1

23、　　草图：　　函数y3=

24、x-2

25、+

26、x+1

27、

28、+

29、x-1

30、　　草图：　　函数y4=

31、x-2

32、+

33、x+1

34、+

35、x-1

36、+

37、x+2

38、　　草图：　　函数y5=

39、x-2

40、+

41、x+1

42、+

43、x-1

44、+

45、x+2

46、+

47、x-3

48、　　草图：　　简单观察上述函数与其草图，加上对这些图象外观的思考，我们不难发现如下的一些规律：　　函数y=

49、x-x1

50、+

51、x-x2

52、+……+

53、x-xn

54、的图象　　①宏观上看呈“”型　　②当n=2k(k∈Z+)时，图象为“平底”型，即在一个区间上取最小值；　　　当n=2k+1(k∈Z+或k=0）图象为“尖底”型，即在某个点取最小值。　　③在相邻两个xi和xj之间图象为线段，我们称之为

55、“分段线性”。　　所以，求不等式的问题已经转化成“”型图象与直线y=m相互关系的问题。　　对于不等式y>m，若方程y=m有两个根，则解集仍满足所得“大于在两边，小于在中间”的规律。　　对于多绝对值符号不等式的研究我们暂告段落，看下面一个例子：　　例3：求解关于x的不等式：

56、

57、<3　　分析一：将绝对值符号内的分式当作一个整体来分析，转化为最简绝对值不等式

58、X

59、<3,故有：-3<<3，而这是一个分式不等式组，对其求解我们没有研究过。　　分析二：

60、

61、=<3　　将之视为多绝对值问题，将数轴按0，分成三段：　　　或　　或　　　　　或　　或　　　　　∴x<

62、-1　　　　　　　　　　　∴原不等式解集{x<-1或x>}。　　分析三：当x≠0时,

63、x

64、>0不等式两边同乘

65、x

66、　　

67、2x-1

68、<3

69、x

70、两边平方　　(2x-1)2<(3x)2　　(2x-1-3x)(2x-1+3x)<0　　(-x-1)(5x-1)<0　　画二次函数草图：　　∴二次不等式解集即原不等式解集为：{x

71、x<-1或x>}。　　[本周练习]　　1．求解下列不等式：　　

72、x-2

73、+

74、x+2

75、<10　　

76、x-3

77、-

78、x+3

79、>2　　2．如果关于的不等式

80、ax+1

81、≤b的解集是-≤x≤,求a,b。　　3．解关于x

82、的不等式

83、ax-2

84、<4。　　二．解绝对值不等式　　例1：解不等式　　分析和解：为了去掉不等式左端的绝对值符号，我们应首先找到使每个绝对值等于零的x值，解

85、x-1

86、=0得x=1，解

87、x+2

88、=0得x=-2。　　　　　　综合上述，不等式

89、x-1

90、+

91、x+2

92、<5的解是-3

93、X-1

94、+

95、X+2

96、的最小值。　　分析和解：根据绝对值的意

97、义，

98、X-1

99、就是数轴上表示X点到表示1点的距离；　　就是数轴上表示X的点P和表示-2的点A的距离与这个表示X的点P和表示1的点B的距离之和。