高二数学圆的一般方程 人教版.doc

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1、高二数学圆的一般方程一　教学目标　　(1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件．　　(2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．　　(3)理解并能初步应用圆系的知识去处理问题．　　教学重点和难点　　重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F．　　难点：圆系的理解和应用．　　教学过程设计　　(一)教师讲授：　　请同学们看出圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2=r2，圆心(a，b)，半径r．　　把圆的标准方程展开，

2、并整理：x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2=0．　　我们把它看成下面的形式：　　x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0①　　这个方程是圆的方程．　　反过来给出一个形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0的方程，它表示的曲线是圆．　　②　　(配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆？　　(1)当D2＋E2－4F＞0时，方程②表示　　　　(2)当D2＋E2－4F=0时，方程②表示　　　　(3)当D2＋E2－4F＜0时，方程②不表示任何图形　　∴当D2＋E2－4F＞0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0．　　　　做圆的一般方程．　　现在我们来看圆的一般方程的特点：(启发学生归纳)　　(1)①

3、x2和y2的系数相同，不等于0．　　②没有xy这样的二次项．　　　　　　　　　　同学们不难发现，x2和y2的系数相同，不等于0．且没有xy这样的二次项，是方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的必要条件．但不是充分条件．　　(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．　　(二)研究问题1，求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2(4，2)的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标．　　[解法一]设所求圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0．　　把已知三点的坐标代入，得三个方程，解这三个方程组成的方程组　　　　∴所求圆的方程为x2＋y2－8

4、x＋6y=0．　　　　[解法二]先求OM1和OM2的中垂线：　　　　　　y－1=(－2)(x－2)2x＋y=5　　　　∴所求圆的方程为，(x－4)2＋(y＋3)2=25．　　　　[分析]设动点M(x，y)，

5、MO

6、、

7、MA

8、都可表示出．　　　　解设曲线上的动点为M(x，y)．　　　　化简得x2＋y2＋2x－3=0　　配方(x＋1)2＋y2=4．　　∴所求的轨迹是以C(－1，0)为圆心，2为半径的圆．　　研究问题3，自P0(x0，y0)作圆x2＋y2=r2的两切线，切点分别为P1、P2，求证：P1P2所在直线的方程为x0x＋y0y=r2．　　[分析]自P0(x0，y0)作图x2＋y2=r

9、2的两切线，切点分别为P1、P2如具体去求P1、P2的坐标，则运动量是非常大的．为此我们要研究较简单的办法．　　P0P1、P0P2是圆O的两条切线，∠OP1P0=∠OP2P0=90°，则O、P1、P0、P2四点共圆，P1、P2为两个圆的交点，为此我们从两个圆的交点入手．　　　　即x2＋y2－x0x－y0y=0．　　　　把(2)代入(1)：x0x＋y0y=r2．　　∴P1P2所在直线的方程为x0x＋y0y=r2．　　这里同学们可能有点不太明白，为什么由方程(1)和(2)变出的关系式x0x＋y0y=r2就是过两圆交点的直线．　　请同学们回忆一下，我们在前面研究两条曲线交点的有关问题时，研究

10、过这样一个定理．(课本复习题七，24题)“两条曲线的方程是f1(x，y)=0，和f2(x，y)=0，它们的交点是P(x0，y0)．求证：方程f1(x，y)＋λf2(x，y)=0的曲线也经过点P，这里λ是任意实数”．　　根据这一定理，(x2＋y2－x0x－y0y)＋λ(x2＋y2－r2)=0．表示过两圆交点的曲线，为了消去x2，y2项，我们取λ=－1，得曲线方程，x0x＋y0y=r2，实际上是直线x0x＋y0y=r2．就是说，直线x0x＋y0y=r2过两圆的交点．　　通过这个题，我们有下面一般的结论：　　如果圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1=0，和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2

11、y＋F2=0相交．　　(1)当λ≠－1时，方程(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)=0表示过圆C1与C2交点的圆．　　(2)当λ=－1时，方程(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)=0表示过圆C1和C2交点的直线．　　这点的证明留给同学们课后去思考，而这个结论同学们今后在解题中将会得到应用．应当注意的是：　　方程(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)=0中