初中数学复习 旋转变换.doc

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1、专题13　旋转变换（录入：王云峰）阅读与思考在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一定的角度，这样的图形变换称为旋转，这个定点叫旋转中心，转动的角度叫旋转角．旋转变换不改变图形的形状和大小．通过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同的方向转动同样大小的角度．旋转变换前后的图形有下列性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角；（3）对应线段相等，对应线段的夹角等于旋转角，对应线段的垂直平分线都经过旋转中心．例题与求解【例1】如图，边长为1的正△A1B1C1的中心为O，将正△A1B1C1绕中心O旋转到△A2B2C2，使得A2B2丄B1C1，则两个三

2、角形的公共部分（即六边形ABCDEF）的面积为＿＿．（“新知杯”上海市竞赛试题）解题思路：S六边形ABCDEF＝，解题的关键是寻找CB1，CB2，CD，C1D之间的关系．【例2】如图，已知△AOB，△COD都是等腰直角三角形，∠AOB＝∠CQD＝90°，N，M，Q，P分别为AB，CB，CD，AD的中点．求证：四边形NMQP为正方形．解题思路：连结BD，AC，并延长AC交于点E，则△OAC可以看作是由△OBD绕点O逆时针旋转90°得到的，且∠AED＝90°，这是证明本例的关键．【例3】如图，巳知在△ABC中，AB＝AC，P为形内一点，且∠APB＜∠APC．求证：PB＞PC．（北京市竞赛试题）解题

3、思路：以A为中心，将△APB旋转一个∠BAC，使AB边与AC边重合，这时△APB到了△AP'C的位置．【例4】点B，C，E在同一直线上，点A，D在直线CE的同侧，AB＝AC，EC＝ED，∠BAC＝∠CED，直线AE，BD交于点F．（1）如图1，若∠BAC＝60°，则∠AFB＝＿＿＿＿；如图2，若∠BAC＝90°，则∠AFB＝＿＿＿＿；（2）如图3，若∠BAC＝，则∠AFB＝＿＿＿＿（用含的式子表示）；（3）将图3中的△ABC绕点C旋转（点F不与点A，B重合），得图4或图5．在图4中，∠AFB与∠的数量关系是＿＿＿；在图5中，∠AFB与∠的数量关系是＿＿＿．请你任选其中一个结论证明．（武汉市中考

4、试题）图1图2图3图4图5解题思路：从特殊到一般，在动态的旋转过程中，有两组不变的关系：△ABC∽△EDC，△BCD∽△ACE，这是解本例的关键．【例5】如图，已知凸五边形ABCDE中，AB＝BC＝CD＝DE＝EA，∠ABC＝2∠DBE．求证：∠ABC＝60°．（北京市竞赛试题）解题思路：将△ABE以B为旋转中心顺时针旋转∠ABC，使得AB与BC重合，落在△CBE'位置，则△ABE≌△CBE′，AE＝CE′，BE＝BE′，∠CBE′＝∠ABE．【例6】如图，已知正方形ABCD内一动点E到A，B，C三点的距离之和的最小值为，求此正方形的边长．（广东省竞赛试题）解题思路：本例是费马点相关的问题的变

5、形，解题的关键是确定最小值时E点的位置，通过旋转变换，把EA，EB，EC连结起来．能力训练A级1．如图，巳知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝2，EC＝1，把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F，C两点的距离为＿＿＿＿．（上海市中考试题）第1题第2题第3题2．如图，P是正△ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P'AB，则点P与点P'之间的距离为＿＿＿＿，∠APB＝＿＿＿＿．（青岛市中考试题）3．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，∠BCD＝45°．将CD以点D为中心逆时针旋转90°至E

6、D，连结AE，则△ADE的面积是＿＿＿＿．4．如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝50°，点D在边BC上，BD＝2CD．把△ABC绕着点D逆时针旋转（0＜＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么＝＿＿＿＿．（上海市中考试题）第4题第5题第6题5．如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转60°至AB'C'D′的位置，则这两个正方形重叠部分的面积是＿＿＿＿．（全国初中数学联赛试题）6．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm．以斜边BC上距离点B6cm的点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF，则旋转前后两个三角

7、形重叠部分的面积为＿＿＿．（黄冈市竞赛试题）7．如图，将△ABC绕点C（0，1）旋转180°得到△A'B'C，设点A'的坐标为（，），则点A的坐标为（　　）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）（河南省中考试题）第7题第8题第9题8．如图，已知P是等边△ABC内部一点，∠APB︰∠BPC︰∠CPA＝5︰6︰7．则以PA，PB，PC为边的三角形的三个角的大小之比（从小到大）是（　　）A．2︰3︰4