高中数学第三章直线与方程3.1.1倾斜角与斜率学案含解析新人教A版 必修.doc

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1、3.1.1　倾斜角与斜率1．理解直线的倾斜角和斜率的概念．(重点)2．掌握倾斜角与斜率的对应关系．(难点、易错点)3．掌握过两点的直线的斜率公式．(重点)[基础·初探]教材整理1　直线的倾斜角阅读教材P82～P83“思考”以上部分，完成下列问题．1．倾斜角的定义(1)当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.2．倾斜角的范围直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.3．确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点及它的倾斜角．如图3

2、11所示，直线l的倾斜角为(　　)图311A．30°　B．60°C．120°D．以上都不对【解析】　根据倾斜角的定义知，直线l的倾斜角为30°＋90°＝120°.【答案】　C教材整理2　直线的斜率及斜率公式阅读教材P83“思考”以下至P85“例1”以上部分，完成下列问题．1．斜率的定义一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k表示，即k＝tan_α.2．斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.当x1＝x2时，直线P1P2没有斜率．3．斜率意义用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度．判断(

3、正确的打“√”，错误的打“×”)(1)倾斜角是描述直线的倾斜程度的惟一方法．(　　)(2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应．(　　)(3)一个倾斜角α不能确定一条直线．(　　)(4)斜率公式与两点的顺序无关．(　　)【解析】　(1)错误．除了倾斜角，还可以用坡度(比)描述倾斜程度．(2)错误．倾斜角不是90°的直线有且只有一个斜率和它对应．(3)正确．确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点P和一个倾斜角α.(4)正确．斜率公式与两点的顺序无关，即两纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换．【答案】　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√[小组合

4、作型]直线的倾斜角　已知直线l过原点，l绕原点按顺时针方向转动α角(0°<α<180°)后，恰好与y轴重合，求直线l转动前的倾斜角是多少？【精彩点拨】　―→―→―→【自主解答】　由题意画出如下草图由图可知：当α为钝角时，倾斜角为α－90°，当α为锐角时，倾斜角为α＋90°，当α为直角时，倾斜角为0°.综上，直线l转动前的倾斜角为1．解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答．2．求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．[再练一题]1．设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向

5、旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为(　　)A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°【解析】　根据题意，画出图形，如图所示：因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：当0°≤α<135°时，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D.【答案】　D直线的斜率　已知坐标平面内三点A(－1,1)，B(1,1)，C(2，＋1)．(1)求直线A

6、B、BC、AC的斜率和倾斜角；(2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的变化范围．【精彩点拨】　(1)利用k＝及k＝tanα求解；(2)先求出AC、BC的斜率，进而求出k的范围．【自主解答】　(1)由斜率公式得kAB＝＝0，kBC＝＝.kAC＝＝.倾斜角的取值范围是0°≤α<180°.又∵tan0°＝0，∴AB的倾斜角为0°.tan60°＝，∴BC的倾斜角为60°.tan30°＝，∴AC的倾斜角为30°.(2)如图，当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转，当直线CD由CA逆时针方向旋转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kCA增

7、大到kCB，所以k的取值范围为.1．由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tanα(α≠90°)解决．2．由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝(x1≠x2)求解．3．涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合列公式求解．[再练一题]2．已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点．(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角α的取值范围.【解】　如图所示，由题意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1.(1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1，或k≥1.(2)由题意可知，直线l的倾斜角

8、介于直线PB与PA的倾斜