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时间:2020-07-04
《高中数学第三章直线与方程3.1.1倾斜角与斜率学案含解析新人教A版 必修.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3.1.1 倾斜角与斜率1.理解直线的倾斜角和斜率的概念.(重点)2.掌握倾斜角与斜率的对应关系.(难点、易错点)3.掌握过两点的直线的斜率公式.(重点)[基础·初探]教材整理1 直线的倾斜角阅读教材P82~P83“思考”以上部分,完成下列问题.1.倾斜角的定义(1)当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.(2)当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°.2.倾斜角的范围直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.3.确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是:直线上的一个定点及它的倾斜角.如图3
2、11所示,直线l的倾斜角为( )图311A.30° B.60°C.120°D.以上都不对【解析】 根据倾斜角的定义知,直线l的倾斜角为30°+90°=120°.【答案】 C教材整理2 直线的斜率及斜率公式阅读教材P83“思考”以下至P85“例1”以上部分,完成下列问题.1.斜率的定义一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.常用小写字母k表示,即k=tan_α.2.斜率公式经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=.当x1=x2时,直线P1P2没有斜率.3.斜率意义用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度.判断(
3、正确的打“√”,错误的打“×”)(1)倾斜角是描述直线的倾斜程度的惟一方法.( )(2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应.( )(3)一个倾斜角α不能确定一条直线.( )(4)斜率公式与两点的顺序无关.( )【解析】 (1)错误.除了倾斜角,还可以用坡度(比)描述倾斜程度.(2)错误.倾斜角不是90°的直线有且只有一个斜率和它对应.(3)正确.确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素:一个点P和一个倾斜角α.(4)正确.斜率公式与两点的顺序无关,即两纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换.【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√[小组合
4、作型]直线的倾斜角 已知直线l过原点,l绕原点按顺时针方向转动α角(0°<α<180°)后,恰好与y轴重合,求直线l转动前的倾斜角是多少?【精彩点拨】 ―→―→―→【自主解答】 由题意画出如下草图由图可知:当α为钝角时,倾斜角为α-90°,当α为锐角时,倾斜角为α+90°,当α为直角时,倾斜角为0°.综上,直线l转动前的倾斜角为1.解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答.2.求直线的倾斜角主要根据定义来求,其关键是根据题意画出图形,找准倾斜角,有时要根据情况分类讨论.[再练一题]1.设直线l过坐标原点,它的倾斜角为α,如果将l绕坐标原点按逆时针方向
5、旋转45°,得到直线l1,那么l1的倾斜角为( )A.α+45°B.α-135°C.135°-αD.当0°≤α<135°时,倾斜角为α+45°;当135°≤α<180°时,倾斜角为α-135°【解析】 根据题意,画出图形,如图所示:因为0°≤α<180°,显然A,B,C未分类讨论,均不全面,不合题意.通过画图(如图所示)可知:当0°≤α<135°时,l1的倾斜角为α+45°;当135°≤α<180°时,l1的倾斜角为45°+α-180°=α-135°.故选D.【答案】 D直线的斜率 已知坐标平面内三点A(-1,1),B(1,1),C(2,+1).(1)求直线A
6、B、BC、AC的斜率和倾斜角;(2)若D为△ABC的边AB上一动点,求直线CD斜率k的变化范围.【精彩点拨】 (1)利用k=及k=tanα求解;(2)先求出AC、BC的斜率,进而求出k的范围.【自主解答】 (1)由斜率公式得kAB==0,kBC==.kAC==.倾斜角的取值范围是0°≤α<180°.又∵tan0°=0,∴AB的倾斜角为0°.tan60°=,∴BC的倾斜角为60°.tan30°=,∴AC的倾斜角为30°.(2)如图,当斜率k变化时,直线CD绕C点旋转,当直线CD由CA逆时针方向旋转到CB时,直线CD与AB恒有交点,即D在线段AB上,此时k由kCA增
7、大到kCB,所以k的取值范围为.1.由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k=tanα(α≠90°)解决.2.由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k=(x1≠x2)求解.3.涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合列公式求解.[再练一题]2.已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点.(1)求直线l的斜率k的取值范围;(2)求直线l的倾斜角α的取值范围.【解】 如图所示,由题意可知kPA==-1,kPB==1.(1)要使直线l与线段AB有公共点,则直线l的斜率k的取值范围是k≤-1,或k≥1.(2)由题意可知,直线l的倾斜角
8、介于直线PB与PA的倾斜
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