高中数学 第三章 直线与方程 3.1.1 倾斜角与斜率学案（含解析）新人教A版必修.doc

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1、3．1.1　倾斜角与斜率学习目标　1.理解直线的斜率和倾斜角的概念；2.理解直线倾斜角的惟一性及直线斜率的存在性；3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．知识点一　直线的倾斜角思考1　在平面直角坐标系中，只知道直线上的一点，能不能确定一条直线呢？答案　不能．思考2　在平面直角坐标系中，过定点P的四条直线如图所示，每条直线与x轴的相对倾斜程度是否相同？答案　不同．1．倾斜角的定义(1)当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．(2)当直线l与x轴平行或重合时，

2、规定它的倾斜角为0°.2．倾斜角的范围直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.3．确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角．知识点二　直线的斜率与倾斜角的关系思考1　在日常生活中，我们常用“”表示“坡度”，图(1)(2)中的坡度相同吗？答案　不同，因为≠.思考2　思考1中图的“坡度”与角α，β存在等量关系吗？答案　存在，图(1)中，坡度＝tanα，图(2)中，坡度＝tanβ.1．直线的斜率把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α.2．斜率

3、与倾斜角的对应关系图示倾斜角(范围)α＝0°0°<α<90°α＝90°90°<α<180°斜率(范围)k＝0k>0不存在k<0知识点三　过两点的直线的斜率公式直线过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其斜率k＝(x1≠x2)．类型一　直线的倾斜角例1　设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转40°，得直线l1，则直线l1的倾斜角为(　　)A．α＋40°B．α－140°C．140°－αD．当0°≤α<140°时为α＋40°，当140°≤α<180°时为α－140°答案　D解析　根据题意，画出图形，

4、如图所示：因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：当0°≤α<140°时，l1的倾斜角为α＋40°；当140°≤α<180°时，l1的倾斜角为40°＋α－180°＝α－140°.故选D.反思与感悟　(1)解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答．(2)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．跟踪训练1　已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为________．答案　60°或120°解

5、析　有两种情况：①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°.②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.类型二　直线的斜率例2　直线l1，l2，l3都经过点P(3,2)，又l1，l2，l3分别经过点Q1(－2，－1)，Q2(4，－2)，Q3(－3,2)，计算直线l1，l2，l3的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．解　设k1，k2，k3分别表示直线l1，l2，l3的斜率．由于Q1，Q2，Q3的横坐标与P点的横坐标均不相等，所以k1＝＝，k2

6、＝＝－4，k3＝＝0.由k1>0知，直线l1的倾斜角为锐角；由k2<0知，直线l2的倾斜角为钝角；由k3＝0知，直线l3的倾斜角为0°.反思与感悟　应用斜率公式时应先判定两定点的横坐标是否相等，若相等，直线垂直于x轴，斜率不存在；若不相等，再代入斜率公式求解．跟踪训练2　(1)若经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m＝________.(2)经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是________(其中m≥1)．答案　(1)2　(2)0°<α≤90°解析　(1)tan45°＝，得m

7、＝2.(2)当m＝1时，直线与x轴垂直，此时斜率不存在，倾斜角为90°.当m>1时，直线的斜率为k＝＝＝，因为m>1，所以k>0，故直线的倾斜角的取值范围为0°<α<90°.综上可知：直线的倾斜角α的取值范围是0°<α≤90°.类型三　斜率与倾斜角的综合应用例3　(1)已知某直线l的倾斜角α＝45°，又P1(2，y1)，P2(x2,5)，P3(3,1)是此直线上的三点，求x2，y1的值；(2)已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)．若点D在线段BC上(包括端点)移动，求直线AD的斜率的变化范围．解　(1)∵α＝45°

8、，∴直线l的斜率k＝tan45°＝1，∵P1，P2，P3都在直线l上，∴，∴＝＝1，解得x2＝7，y1＝0.(2)如图所示：当点D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是.反思与感悟　(1)用斜率公式可解决三点共线问题(2)斜率与倾斜