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时间:2020-07-04
《高中数学第3章不等式3.2.1一元二次不等式的解法学案苏教版必修.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第1课时 一元二次不等式的解法1.能从实际情境中抽象出一元二次不等式,掌握一元二次不等式的解法.(重点)2.掌握分式不等式的解法.(重点)3.能借助“三个二次”的关系解决与一元二次不等式有关的解集问题.(难点)[基础·初探]教材整理 一元二次不等式阅读教材P75~P77练习以上的有关内容,完成下列问题.1.一元二次不等式只含有一个未知数,并且未知数最高次数是2的不等式叫做一元二次不等式.2.一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的联系Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0y=ax2+bx+c(a>0
2、)的图象ax2+bx+c=0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1,x2且x10(a>0)的解集{x
3、x>x2或x0)的解集{x
4、x12;③-x2+5x+6≥0;④(x+a)(x+a+1)<0【解析】 ③④符合一元二次不等式的定义;对于①,当m+1=0时,不是一元二次不等式;
5、②是指数不等式.【答案】 ③④2.不等式x2+x-2<0的解集为________.【解析】令f(x)=x2+x-2=(x+2)(x-1),画出函数图象可知,当-26、-27、-28、___________________________疑问2:_________________________________________________解惑:_________________________________________________疑问3:_________________________________________________解惑:_________________________________________________[小组合作型]一元二次不等9、式的基本解法 解下列不等式.(1)2x2+5x-3<0;(2)-3x2+6x≤2;(3)-x2+6x-10>0.【精彩点拨】 移项,化一边为0―→二次项系数化为正数―→验根是否存在―→求根―→求不等式的解集【自主解答】 (1)Δ=49>0,方程2x2+5x-3=0的两根为x1=-3,x2=,作出函数y=2x2+5x-3的图象,如图①所示.用阴影描出原不等式的解,由图可得原不等式的解集为.(2)原不等式等价于3x2-6x+2≥0,Δ=12>0,解方程3x2-6x+2=0,得x1=,x2=,作出函数10、y=3x2-6x+2的图象,如图②所示,由图可得原不等式的解集为.(3)原不等式可化为x2-6x+10<0,∵Δ=-4<0,∴方程x2-6x+10=0无实根,又∵二次项系数大于0,∴x2-6x+10>0恒成立.∴原不等式的解集为∅.解一元二次不等式的步骤:(1)通过对不等式变形,使二次项系数大于零;(2)计算对应方程的判别式;(3)求出相应的一元二次方程的根,或根据判别式说明方程没有实根;(4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集.[再练一题]1.求下列一元二次不等式的解集.(1)x2-11、5x>6;(2)4x2-4x+1≤0;(3)(5-x)(x+1)≥0.【解】 (1)由x2-5x>6,得x2-5x-6>0,∴(x-6)(x+1)>0,∴x>6或x<-1.∴不等式的解集为{x12、x>6或x<-1}.(2)∵4x2-4x+1=(2x-1)2≥0,∴4x2-4x+1≤0的解集为.(3)由(5-x)(x+1)≥0,得(x-5)(x+1)≤0,∴-1≤x≤5,∴原不等式的解集为{x13、-1≤x≤5}.“三个二次”间对应关系的应用 若不等式ax2+5x-2>0的解集是,求不等式ax2-5x+14、a2-1>0的解集.【导学号:】【精彩点拨】 利用不等式解集的端点值为对应方程的根,求出a的值,再解不等式即可.【自主解答】 由已知条件可知a<0,且,2是相应方程ax2+5x-2=0的两个根,由根与系数关系得,解得a=-2.∴ax2-5x+a2-1>0化为2x2+5x-3<0,化为(2x-1)(x+3)<0,解得-3
6、-27、-28、___________________________疑问2:_________________________________________________解惑:_________________________________________________疑问3:_________________________________________________解惑:_________________________________________________[小组合作型]一元二次不等9、式的基本解法 解下列不等式.(1)2x2+5x-3<0;(2)-3x2+6x≤2;(3)-x2+6x-10>0.【精彩点拨】 移项,化一边为0―→二次项系数化为正数―→验根是否存在―→求根―→求不等式的解集【自主解答】 (1)Δ=49>0,方程2x2+5x-3=0的两根为x1=-3,x2=,作出函数y=2x2+5x-3的图象,如图①所示.用阴影描出原不等式的解,由图可得原不等式的解集为.(2)原不等式等价于3x2-6x+2≥0,Δ=12>0,解方程3x2-6x+2=0,得x1=,x2=,作出函数10、y=3x2-6x+2的图象,如图②所示,由图可得原不等式的解集为.(3)原不等式可化为x2-6x+10<0,∵Δ=-4<0,∴方程x2-6x+10=0无实根,又∵二次项系数大于0,∴x2-6x+10>0恒成立.∴原不等式的解集为∅.解一元二次不等式的步骤:(1)通过对不等式变形,使二次项系数大于零;(2)计算对应方程的判别式;(3)求出相应的一元二次方程的根,或根据判别式说明方程没有实根;(4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集.[再练一题]1.求下列一元二次不等式的解集.(1)x2-11、5x>6;(2)4x2-4x+1≤0;(3)(5-x)(x+1)≥0.【解】 (1)由x2-5x>6,得x2-5x-6>0,∴(x-6)(x+1)>0,∴x>6或x<-1.∴不等式的解集为{x12、x>6或x<-1}.(2)∵4x2-4x+1=(2x-1)2≥0,∴4x2-4x+1≤0的解集为.(3)由(5-x)(x+1)≥0,得(x-5)(x+1)≤0,∴-1≤x≤5,∴原不等式的解集为{x13、-1≤x≤5}.“三个二次”间对应关系的应用 若不等式ax2+5x-2>0的解集是,求不等式ax2-5x+14、a2-1>0的解集.【导学号:】【精彩点拨】 利用不等式解集的端点值为对应方程的根,求出a的值,再解不等式即可.【自主解答】 由已知条件可知a<0,且,2是相应方程ax2+5x-2=0的两个根,由根与系数关系得,解得a=-2.∴ax2-5x+a2-1>0化为2x2+5x-3<0,化为(2x-1)(x+3)<0,解得-3
7、-28、___________________________疑问2:_________________________________________________解惑:_________________________________________________疑问3:_________________________________________________解惑:_________________________________________________[小组合作型]一元二次不等9、式的基本解法 解下列不等式.(1)2x2+5x-3<0;(2)-3x2+6x≤2;(3)-x2+6x-10>0.【精彩点拨】 移项,化一边为0―→二次项系数化为正数―→验根是否存在―→求根―→求不等式的解集【自主解答】 (1)Δ=49>0,方程2x2+5x-3=0的两根为x1=-3,x2=,作出函数y=2x2+5x-3的图象,如图①所示.用阴影描出原不等式的解,由图可得原不等式的解集为.(2)原不等式等价于3x2-6x+2≥0,Δ=12>0,解方程3x2-6x+2=0,得x1=,x2=,作出函数10、y=3x2-6x+2的图象,如图②所示,由图可得原不等式的解集为.(3)原不等式可化为x2-6x+10<0,∵Δ=-4<0,∴方程x2-6x+10=0无实根,又∵二次项系数大于0,∴x2-6x+10>0恒成立.∴原不等式的解集为∅.解一元二次不等式的步骤:(1)通过对不等式变形,使二次项系数大于零;(2)计算对应方程的判别式;(3)求出相应的一元二次方程的根,或根据判别式说明方程没有实根;(4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集.[再练一题]1.求下列一元二次不等式的解集.(1)x2-11、5x>6;(2)4x2-4x+1≤0;(3)(5-x)(x+1)≥0.【解】 (1)由x2-5x>6,得x2-5x-6>0,∴(x-6)(x+1)>0,∴x>6或x<-1.∴不等式的解集为{x12、x>6或x<-1}.(2)∵4x2-4x+1=(2x-1)2≥0,∴4x2-4x+1≤0的解集为.(3)由(5-x)(x+1)≥0,得(x-5)(x+1)≤0,∴-1≤x≤5,∴原不等式的解集为{x13、-1≤x≤5}.“三个二次”间对应关系的应用 若不等式ax2+5x-2>0的解集是,求不等式ax2-5x+14、a2-1>0的解集.【导学号:】【精彩点拨】 利用不等式解集的端点值为对应方程的根,求出a的值,再解不等式即可.【自主解答】 由已知条件可知a<0,且,2是相应方程ax2+5x-2=0的两个根,由根与系数关系得,解得a=-2.∴ax2-5x+a2-1>0化为2x2+5x-3<0,化为(2x-1)(x+3)<0,解得-3
8、___________________________疑问2:_________________________________________________解惑:_________________________________________________疑问3:_________________________________________________解惑:_________________________________________________[小组合作型]一元二次不等
9、式的基本解法 解下列不等式.(1)2x2+5x-3<0;(2)-3x2+6x≤2;(3)-x2+6x-10>0.【精彩点拨】 移项,化一边为0―→二次项系数化为正数―→验根是否存在―→求根―→求不等式的解集【自主解答】 (1)Δ=49>0,方程2x2+5x-3=0的两根为x1=-3,x2=,作出函数y=2x2+5x-3的图象,如图①所示.用阴影描出原不等式的解,由图可得原不等式的解集为.(2)原不等式等价于3x2-6x+2≥0,Δ=12>0,解方程3x2-6x+2=0,得x1=,x2=,作出函数
10、y=3x2-6x+2的图象,如图②所示,由图可得原不等式的解集为.(3)原不等式可化为x2-6x+10<0,∵Δ=-4<0,∴方程x2-6x+10=0无实根,又∵二次项系数大于0,∴x2-6x+10>0恒成立.∴原不等式的解集为∅.解一元二次不等式的步骤:(1)通过对不等式变形,使二次项系数大于零;(2)计算对应方程的判别式;(3)求出相应的一元二次方程的根,或根据判别式说明方程没有实根;(4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集.[再练一题]1.求下列一元二次不等式的解集.(1)x2-
11、5x>6;(2)4x2-4x+1≤0;(3)(5-x)(x+1)≥0.【解】 (1)由x2-5x>6,得x2-5x-6>0,∴(x-6)(x+1)>0,∴x>6或x<-1.∴不等式的解集为{x
12、x>6或x<-1}.(2)∵4x2-4x+1=(2x-1)2≥0,∴4x2-4x+1≤0的解集为.(3)由(5-x)(x+1)≥0,得(x-5)(x+1)≤0,∴-1≤x≤5,∴原不等式的解集为{x
13、-1≤x≤5}.“三个二次”间对应关系的应用 若不等式ax2+5x-2>0的解集是,求不等式ax2-5x+
14、a2-1>0的解集.【导学号:】【精彩点拨】 利用不等式解集的端点值为对应方程的根,求出a的值,再解不等式即可.【自主解答】 由已知条件可知a<0,且,2是相应方程ax2+5x-2=0的两个根,由根与系数关系得,解得a=-2.∴ax2-5x+a2-1>0化为2x2+5x-3<0,化为(2x-1)(x+3)<0,解得-3
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