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《高中数学《定积分 综合-导数与定积分》学案1 北师大版选修.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、导数与定积分的综合应用（选讲）【基础过关】1．导数的几何意义及其应用函数y=f(x)在点x0导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的 ，导数的四则运算法则对加法而言 ；对乘法而言 ；对除法而言 。2．导数与定积分的关系在求定积分时，要求出原函数，求原函数的过程可以看作是求导的 。【基础训练】1．已知函数在处的导数等于3，则的解析式可能为（ ）A． B． C． D．2．若在区间内有且，则在区间内有（ ）A． B． C．
2、D．不能确定3．设函数有极值，则极值点为.4．，则的值为 .【典型例题】例1．过点作曲线（，，）的切线切点为，设点在轴上的投影是点；又过点作曲线的切线切点为，设点在轴上的投影是点；……；依此下去，得到一系列点，设点的横坐标是．（1）求证：，；（2）求证：；（3）求证：（注：）．［剖析］函数y=f(x)在点x0导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率，也就是说，曲线y=f(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)，于是相应的切线方程为y－y0=f′(x0)(x－x0)，巧借导数
3、几何意义“传接”的各类综合题频频出现。本例涉及到求切线方程的问题,其关键在于掌握切线的斜率等于切点的导数.［解］（１）为了求切线的斜率，只要对求导数，得．若切点是，则切线方程是．当时，切线过点，即，得； 当时，切线过点，即，得．所以数列是首项为，公比为的等比数列，，．（２）应用二项式定理，得 ． （３）记，则，两式错位相减，得 ，故． ［警示］求切线方程关键在于切点，因为切点不仅是直线上的一个点，而且它给出切线的方向(切点的导数);应熟练地求出曲线在某点处的切线方程。本题综合解析几何、导数、数列、
4、二项式定理、不等式等知识点。例2．（2006年辽宁卷）已知函数f(x)=,其中a,b,c是以d为公差的等差数列，且a＞0,d＞0.设［1-］上，，在，将点A，B，C(I)求(II)若⊿ABC有一边平行于x轴，且面积为，求a,d的值［剖析］对于第（1）小题，利用待定系数法进行求解，但需注意导数的应用；对于第（2）小题，应充分利用“面积为”这一条件。［解］(I)解:,令,得,当时,;当时,所以f(x)在x=-1处取得最小值即(II)解法一：，的图像的开口向上,对称轴方程为.由知,在上的最大值为,即.又由,当时,取得最小值为,由三角形ABC有一条
5、边平行于x轴知AC平行于x轴,所以又由三角形ABC的面积为得利用b=a+d,c=a+2d,得联立(1)(2)可得.解法二:,又c>0知在上的最大值为,即:又由当时,取得最小值为,由三角形ABC有一条边平行于x轴知AC平行于x轴,所以又由三角形ABC的面积为得利用b=a+d,c=a+2d,得联立(1)(2)可得［警示］本小题考查了函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值,等差数基础知识的综合应用,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力［变式训练］已知函数，设，记曲线在点处的切线为。（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）设与轴的交点为，
6、证明：①；②若，则。例3．（2006年湖北卷）设是函数的一个极值点.（Ⅰ）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；（Ⅱ）设，.若存在使得成立，求的取值范围.［剖析］利用导数研究的问题中若含有参数，应抓住参数的实际意义进行讨论。［解］（Ⅰ）f`(x)＝－[x2＋(a－2)x＋b－a]e3－x,由f`(3)=0，得－[32＋(a－2)3＋b－a]e3－3＝0，即得b＝－3－2a，则f`(x)＝[x2＋(a－2)x－3－2a－a]e3－x＝－[x2＋(a－2)x－3－3a]e3－x＝－(x－3)(x＋a+1)e3－x.令f`(x)＝0，得x1＝3
7、或x2＝－a－1，由于x＝3是极值点，所以x+a+1≠0，那么a≠－4.当a<－4时，x2>3＝x1，则在区间（－∞，3）上，f`(x)<0，f(x)为减函数；在区间（3，―a―1）上，f`(x)>0，f(x)为增函数；在区间（―a―1，＋∞）上，f`(x)<0，f(x)为减函数。当a>－4时，x2<3＝x1，则在区间（－∞，―a―1）上，f`(x)<0，f(x)为减函数；在区间（―a―1，3）上，f`(x)>0，f(x)为增函数；在区间（3，＋∞）上，f`(x)<0，f(x)为减函数。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a>0时，f(x)在区间（0，3）
8、上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么f(x)在区间[0，4]上的值域是[min(f(0)，f(4))，f(3)]，而f(0)＝－（2a＋3）e3<0，f(4)＝（2a＋
