苏教版选修21导数与定积分151定积分的概念与基本定理课件.ppt

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1、定积分的概念与基本定理微积分在几何上有两个基本问题1.如何确定曲线上一点处切线的斜率；2.如何求曲线下方“曲线梯形”的面积。xy0xy0xyo直线几条线段连成的折线曲线？曲边梯形的面积1.5.1曲边梯形的面积直线x0、x1、y0及曲线yx2所围成的图形（曲边三角形）面积S是多少？xyO1方案1方案2方案3为了计算曲边三角形的面积S，将它分割成许多小曲边梯形对任意一个小曲边梯形，用“直边”代替“曲边”（即在很小范围内以直代曲），有以下三种方案“以直代曲”。y=f(x)baxyOA1A1A1AA1.用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A，得AA1+A2用两个矩

2、形的面积近似代替曲边梯形的面积A，得y=f(x)baxyOA1A2AA1+A2+A3+A4用四个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积A，得y=f(x)baxyOA1A2A3A4y=f(x)baxyOAA1+A2++An将曲边梯形分成n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积，于是曲边梯形的面积A近似为A1AiAn分割越细，面积的近似值就越精确。当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S。下面用第一种方案“以直代曲”的具体操作过程（1）分割把区间[0，1]等分成n个小区间：过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，他们的面积分别记作（

3、2）以直代曲（3）作和（4）逼近分割以曲代直作和逼近当分点非常多（n非常大）时，可以认为f(x)在小区间上几乎没有变化（或变化非常小），从而可以取小区间内任意一点xi对应的函数值f(xi)作为小矩形一边的长，于是f(xi)△x来近似表示小曲边梯形的面积表示了曲边梯形面积的近似值演示y=f(x)baxyOx1xi-1xixn-1x2xif(xi)x1x2f(x1)f(x2)f(xi)xi在[a,b]中任意插入n-1个分点．得n个小区间：[xi1,xi](i=1,2,···,n)．把曲边梯形分成n个窄曲边梯形．任取xi[xi1，xi]，以f(xi)Dxi近似代替第i个窄

4、曲边梯形的面积．区间[xi1,xi]的长度Dxixixi1．曲边梯形的面积近似为：A曲边梯形的面积近似为：A．y=f(x)baxyOx1xi-1xixn-1x2xif(xi)x1x2f(x1)f(x2)f(xi)xi在[a,b]中任意插入n-1个分点．得n个小区间：[xi1,xi](i=1,2,···,n)．区间[xi1,xi]的长度Dxixixi1．例1：火箭发射后ts的速度为v(t)(单位:m/s),假定0≤t≤10,对函数v(t)按上式所作的和具有怎样的实际意义？例2：如图，有两个点电荷A、B，电量分别为qA,qB,,固定电荷A，将电荷B从距A

5、为a处移到距A为b处，求库仑力对电荷B所做的功。观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。观察以下演示，注意当

6、分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。1231.与的差别3．定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，即有是的全体原函数是函数是一个和式的极限是一个确定的常数注意点：2.当的极限存在时，其极限

7、值仅与被积函数及积分区间有关，而与区间的分法及点的取法无关。f(x)[a,b]例1：用定义求定积分把区间分成n等份，每份长，各分点是：解因为在上连续，所以存在补充规定：◆定积分的基本性质例2：求下列定积分解因为在上连续，是它的一个原函数所以定理（微积分基本定理）二、牛顿—莱布尼茨公式记:则:微积分基本定理表明：注意:求定积分问题转化为求原函数的问题.牛顿－莱布尼茨公式沟通了导数与积分之间的关系例1求原式例2设,求.解解例3求解解面积练习:1.求解由图形可知