高中数学 第二章 平面向量本章整合学案 新人教A版必修.doc

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1、第二章平面向量本章整合知识网络专题探究专题一　向量的基本运算及几何意义向量的运算有：加法、减法、数乘及两个向量的数量积，进行向量的运算常见的方法有两种：定义法和坐标法．(1)在定义运算中，要会根据题意寻找或画出三角形或平行四边形，利用三角形法则或平行四边形法则，结合平面向量的基本定理求解．(2)如果条件是坐标的向量，则直接进行运算．如果向量在含有垂直关系的几何图形中给出，则可以建系利用坐标进行向量的运算，从而转化为实数的运算求解．【例1】如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为BC的中点，则·＝(　　)A．－3B．0C．－1D．1解析：方法一：＝＋＝＋，所以·＝·＝·＋·

2、＝

3、

4、·

5、

6、cos120°＋

7、

8、·

9、

10、cos60°＝－×2×2＋×2×2×＝－1.方法二：∵ABCD为菱形，∴AC⊥BD.以AC，BD所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系，则由菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，得A(－，0)，B(0，－1)，C(，0)，D(0,1)，中点E，则＝，＝(0,2)，∴·＝×0－×2＝－1.答案：C专题二　向量的模向量的模，即向量的大小，也就是用来表示向量的有向线段的长度．向量的模不仅是研究向量的一个重要的量，而且是利用向量方法解决几何问题的一个“交汇”点．因此，我们必须熟练掌握求向量的模的基本方法．一般地，求向量的模主要是利用公式

11、a

12、2＝a

13、2将它转化为向量的数量积问题，利用数量积的运算律和运算性质进行展开、合并，使问题得以解决．或利用公式

14、a

15、＝将它转化为实数问题，使问题得以解决．【例2】若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，则

16、a＋b－c

17、的最小值为(　　)A.－1B．1C.＋1D.解析：

18、a＋b－c

19、2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c＝3－2(a＋b)·c，因为a·b＝0，且

20、a

21、＝

22、b

23、＝

24、c

25、＝1，所以

26、a＋b

27、＝，所以(a＋b)·c＝

28、a＋b

29、

30、c

31、cos〈a＋b，c〉＝cos〈a＋b，c〉．所以

32、a＋b－c

33、2＝3－2cos〈a＋b，c〉．所以当cos〈a＋b，c〉＝1时，

34、a＋b－c

35、2最小

36、为

37、a＋b－c

38、2＝3－2＝(－1)2，即

39、a＋b－c

40、的最小值为－1.选A.答案：A【例3】设

41、a

42、＝

43、b

44、＝1，

45、3a－2b

46、＝3，求

47、3a＋b

48、的值．解法一：∵

49、3a－2b

50、＝3，∴9a2－12a·b＋4b2＝9.又

51、a

52、＝

53、b

54、＝1，∴a·b＝.故

55、3a＋b

56、＝＝＝＝2.解法二：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．∵

57、a

58、＝

59、b

60、＝1，∴x＋y＝x＋y＝1.∵3a－2b＝(3x1－2x2,3y1－2y2)，∴

61、3a－2b

62、＝＝3.∴x1x2＋y1y2＝.∴

63、3a＋b

64、＝＝＝＝2.专题三　向量的夹角求向量a，b夹角θ的步骤：①求

65、a

66、，

67、b

68、，a·b；②求cosθ＝(夹角公式

69、)；③结合θ的范围[0，π]求出θ.因此求向量的夹角应先求向量夹角的余弦值，再结合夹角的范围确定夹角的大小．【例4】若两个非零向量a，b满足

70、a＋b

71、＝

72、a－b

73、＝2

74、a

75、，则向量a＋b与a的夹角为(　　)A.B.C.D.解析：由

76、a＋b

77、＝

78、a－b

79、，得a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，即a·b＝0.由

80、a＋b

81、＝2

82、a

83、，得a2＋2a·b＋b2＝4a2，即b2＝3a2，所以

84、b

85、＝

86、a

87、.所以(a＋b)·a＝a2＋a·b＝

88、a

89、2.所以向量a＋b与a的夹角的余弦值为cosθ＝＝＝，所以θ＝，选B.答案：B【例5】已知在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥AB，AB＝4，A

90、D＝CD＝2，E，F分别为BC，CD的中点，则∠EAF＝__________.解析：如图建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(4,0)，C(2,2)，D(0,2)，∴E(3,1)，F(1,2)，则＝(3,1)，＝(1,2)，∴cos∠EAF＝＝＝＝.∵0<∠EAF<，∴∠EAF＝.答案：专题四　向量的共线与垂直及应用已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0(λ∈R)；a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.因此证明a∥b，只需要证明a＝λb或x1y2－x2y1＝0(λ∈R)；已知a∥b，则必有a＝λb，x1y2－x2y1＝0(λ∈

91、R)．证明a⊥b，只需证明a·b＝0或x1x2＋y1y2＝0；已知a⊥b，则必有a·b＝0，x1x2＋y1y2＝0.【例6】如图，＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)．(1)若∥，求x与y之间的关系式；(2)若在(1)的条件下，又有⊥，求x，y的值及四边形ABCD的面积．解：(1)∵＝＋＋＝(6,1)＋(x，y)＋(－2，－3)＝(x＋4，y－2)，∴＝－＝(－x－4,2－y)．又∵∥，＝(x，y)，∴x(2－y)－y(－x