高中数学 第二章 基本初等函数（1） 2.2.2 对数函数及其性质（1）学案（含解析）新人教A版必修.doc

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1、2．2.2　对数函数及其性质第一课时　对数函数的图象及性质对数函数的概念[提出问题]在指数函数中我们已经知道，某种放射性物质若最初的质量为1，第二年的剩留量为上一年的0.84，则经过x年，该物质的剩留量为y＝0.84x.问题1：经过多少年这种物质的剩留量为0.5?提示：0.84x＝0.5⇒x＝log0.840.5.问题2：若经过y年的剩留量为x，能用x表示y吗？提示：能．y＝log0.84x.问题3：“问题2”的等式中y是x的函数吗？提示：是，符合函数的定义．[导入新知]对数函数的定义函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫

2、做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．[化解疑难]对数函数概念的注意点(1)对数函数的概念与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：y＝2log2x，y＝log5都不是对数函数，可称其为对数型函数．(2)由指数式与对数式的关系知，对数函数的自变量x恰好是指数函数的函数值y，所以对数函数的定义域是(0，＋∞)．(3)对数函数对底数的限制：a>0，且a≠1.对数函数的图象和性质[提出问题]问题1：试作出y＝log2x和y＝logx的图象．提示：如图所示：问题2：两图象与x轴交点坐标是什么？提示：交点坐标为(1

3、,0)．问题3：两函数单调性如何？提示：y＝log2x是增函数，y＝logx是减函数．问题4：函数y＝2x与y＝log2x的图象有什么关系？定义域、值域有什么关系？提示：图象关于直线y＝x对称，定义域和值域互换．[导入新知]1．对数函数的图象与性质a＞10＜a＜1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R过点(1,0)，即当x＝1时，y＝0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数2．对数函数与指数函数的关系指数函数y＝ax和对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．[化解疑难]a对对数函数的图象的影响(1)底数

4、a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a>1时，对数函数的图象“上升”；当01还是00，且a≠1)的图象关于x轴对称．对数函数的概念[例1]　判断下列函数是不是对数函数，并说明理由．①y＝logax2(a>0，且a≠1)；②y＝log2x－1；③y＝2log8x；④y＝logxa(x>0，且x≠1)；⑤y＝log5x.

5、[解]　∵①中真数不是自变量x，∴不是对数函数；∵②中对数式后减1，∴不是对数函数；∵③中log8x前的系数是2，而不是1，∴不是对数函数；∵④中底数是自变量x，而非常数a，∴不是对数函数．⑤为对数函数．[类题通法]判断一个函数是否为对数函数的方法判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a>0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：①系数为1；②底数为大于0且不等于1的常数；③对数的真数仅有自变量x.[活学活用]函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________.解析：a2－a＋1

6、＝1，解得a＝0或1.又a＋1>0，且a＋1≠1，∴a＝1.答案：1对数函数的图象[例2]　(1)函数y＝loga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点________．(2)如图所示的曲线是对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为________．[解析]　(1)因为函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，则令x＋1＝1得x＝0，此时y＝loga(x＋1)－2＝－2，所以函数y＝loga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图

7、象恒过点(0，－2)．(2)由图可知函数y＝logax，y＝logbx的底数a>1，b>1，函数y＝logcx，y＝logdx的底数0a>1>d>c.[答案]　(1)(0，－2)　(2)b>a>1>d>c[类题通法]1．对数函数图象过定点问题求函数y＝m＋logaf(x)(a>0，且a≠1)的图象过的定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m)．2．对数函数图象的判断根据对数函数图象判断底数大小

8、的方法：作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．[活学活用]已知a>0，且a≠1，则函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象只能是(　　)解析：选B　法一：若0