高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.5 圆锥曲线的共同性质学案 苏教版选修.doc

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1、2.5圆锥曲线的共同性质圆锥曲线的共同性质抛物线可以看成平面内到定点(焦点)F的距离与定直线(准线)l的比值等于1(离心率)的动点的轨迹．问题1：当比值大于0小于1时轨迹是什么？提示：椭圆．问题2：当比值大于1时轨迹是什么？提示：双曲线．圆锥曲线的共同定义为：平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离之比等于常数e的点的轨迹．当0＜e＜1时，它表示椭圆；当e＞1时，它表示双曲线；当e＝1时，它表示抛物线．其中e是离心率，定点F是圆锥曲线的焦点，定直线l是圆锥曲线的准线.圆锥曲线的准线在圆锥曲线的定义

2、中，定点F是焦点，定直线l是准线，而且知道抛物线只有一个焦点和一条准线．问题：椭圆和双曲线有几个焦点、几条准线？提示：椭圆和双曲线有两个焦点、两条准线．椭圆、双曲线和抛物线的准线方程曲线方程准线方程曲线方程准线方程＋＝1(a＞b＞0)x＝±＋＝1(a＞b＞0)y＝±－＝1x＝±－＝1y＝±(a＞0，b＞0)(a＞0，b＞0)y2＝2px(p＞0)x＝－x2＝2py(p＞0)y＝－y2＝－2px(p＞0)x＝x2＝－2py(p＞0)y＝1．关于圆锥曲线共同特征的认识(1)从点的集合(或轨迹)的观点来看：它们都是平

3、面内与一个定点和一条定直线的距离的比是常数e的点的集合(或轨迹)，只是当01时为双曲线．(2)从曲线形状的生成过程来看：圆锥曲线可看成不同的平面截圆锥面所得到的截面的周界，因此，椭圆(包括圆)、抛物线、双曲线又统称为圆锥曲线．2．圆锥曲线共同特征的应用设F为圆锥曲线的焦点，A为曲线上任意一点，d为点A到定直线的距离，由＝e变形可得d＝.由这个变形可以实现由AF到d的转化，借助d则可以解决一些最值问题．利用圆锥曲线的定义求轨迹[例1]　已知动点M(x，y)到点F(2,0

4、)与到定直线x＝8的距离之比为，求点M的轨迹．[思路点拨]　该题有两种解法，一种是利用直译法直接代入化简，另一种是用圆锥曲线的统一定义来求．[精解详析]　法一：由题意得＝，整理得＋＝1.法二：由圆锥曲线的统一定义知，M点的轨迹是一椭圆．c＝2，＝8，则a2＝16，∴a＝4，∴e＝＝，与已知条件相符，∴椭圆中心在原点，焦点(±2,0)，准线x＝±8，b2＝12，其方程为＋＝1.[一点通]　(1)解决此类题目有两种方法：①直接列方程，代入后化简整理即得方程．②根据定义判断轨迹是什么曲线，然后确定其几何性质，从而得出

5、方程．(2)当题目中给出的条件直观上看不符合圆锥曲线定义时，要进行适当的变形，通过推导找出与之相关的距离问题进行验证，通过点与点、点与线间距离的转化去寻找解题途径，对于这种轨迹问题，一般都要通过定义解决．1．平面内的动点P(x，y)(y>0)到点F(0,2)的距离与到x轴的距离之差为2，求动点P的轨迹．解：如图，作PM⊥x轴于M，延长PM交直线y＝－2于N.∵PF－PM＝2.∴PF＝PM＋2.又∵PN＝PM＋2，∴PF＝PN.∴P到定点F与到定直线y＝－2的距离相等．由抛物线的定义知，P的轨迹是以F为焦点以y＝

6、－2为准线的抛物线，顶点在原点，p＝4.∴抛物线方程为x2＝8y.∴动点P的轨迹是抛物线．2．在平面直角坐标系xOy中，已知F1(－4,0)，直线l：x＝－2，动点M到F1的距离是它到定直线l距离d的倍．设动点M的轨迹曲线为E.(1)求曲线E的轨迹方程；(2)设点F2(4,0)，若直线m为曲线E的任意一条切线，且点F1，F2到m的距离分别为d1，d2，试判断d1d2是否为常数，并说明理由．解：(1)由题意，设点M(x，y)，则有MF1＝，点M(x，y)到直线l的距离d＝

7、x－(－2)

8、＝

9、x＋2

10、，故＝

11、x＋2

12、

13、，化简得x2－y2＝8.故动点M的轨迹方程为x2－y2＝8.(2)d1d2是常数，证明如下：若切线m斜率不存在，则切线方程为x＝±2，此时d1d2＝(c＋a)·(c－a)＝b2＝8.当切线m斜率存在时，设切线m：y＝kx＋t，代入x2－y2＝8，整理得：x2－(kx＋t)2＝8，即(1－k2)x2－2tkx－(t2＋8)＝0.Δ＝(－2tk)2＋4(1－k2)(t2＋8)＝0，化简得t2＝8k2－8.又由kx－y＋t＝0，d1＝，d2＝，d1d2＝＝＝8,8为常数．综上，对任意切线m，d1d2是常数.最值问题

14、[例2]　若点P的坐标是(－1，－3)，F为椭圆＋＝1的右焦点，点Q在椭圆上移动，当QF＋PQ取得最小值时，求点Q的坐标，并求出最小值．[思路点拨]　利用定义把QF转化成到准线的距离，然后再求它与PQ的和的最小值．[精解详析]　在＋＝1中a＝4，b＝2，c＝2，∴e＝，椭圆的右准线l：x＝8，过点Q作QQ′⊥l于Q′，则＝e.∴QF＝QQ′.∴QF＋PQ＝QQ′＋PQ＝(QQ′＋PQ)