高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3 双曲线 2.3.2 双曲线的简单性质导学案 北师大版选修.doc

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1、2.3.2　双曲线的简单性质学习目标　1.了解双曲线的简单性质(对称性、范围、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.掌握标准方程中a，b，c，e间的关系.4.能用双曲线的简单性质解决一些简单问题.知识点一　双曲线的简单性质思考　类比椭圆的简单性质，结合图像，你能得到双曲线－＝1(a>0，b>0)的哪些性质？答案　范围、对称性、顶点、离心率、渐近线.梳理标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≥a或x≤－ay≥a或y≤－a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点对称轴：坐标轴对称中心：原点顶

2、点坐标A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±xy＝±x离心率e＝，e∈(1，＋∞)知识点二　双曲线的离心率思考1　如何求双曲线的渐近线方程？答案　将方程－＝1(a>0，b>0)右边的“1”换成“0”，即由－＝0得±＝0，如图，作直线±＝0，在双曲线－＝1的各支向外延伸时，与两直线逐渐接近，把这两条直线叫作双曲线的渐近线.思考2　椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图像的一个重要特征，怎样描述双曲线的“张口”大小呢？答案　双曲线－＝1的各支向外延伸逐渐接近渐近线，所以双曲

3、线的“张口”大小取决于的值，设e＝，则＝＝.当e的值逐渐增大时，的值增大，双曲线的“张口”逐渐增大.梳理　双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率，其取值范围是(1，＋∞).e越大，双曲线的张口越大.知识点三　双曲线的相关概念1.双曲线的对称中心叫作双曲线的中心.2.实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x.类型一　由双曲线方程研究其性质例1　求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.解　将9y2－4x2＝－36变形为－＝1，即－＝1，所以a＝3，b＝2，c＝，因此顶点坐标为(－3

4、，0)，(3，0)；焦点坐标为(－，0)，(，0)；实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4；离心率e＝＝；渐近线方程为y＝±x＝±x.反思与感悟　由双曲线的方程研究其性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类问题的关键.(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值.(3)由c2＝a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的简单性质.跟踪训练1　求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.解　把方程9y2－16x2＝144化为标准方程－＝1.由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3；c＝＝＝5，焦点坐标是(0，

5、－5)，(0，5)；离心率e＝＝；渐近线方程为y＝±x.类型二　由双曲线的简单性质求标准方程例2　求适合下列条件的双曲线的标准方程.(1)虚轴长为12，离心率为；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x；(3)求与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程.解　(1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a>0，b>0).由题意知2b＝12，＝，且c2＝a2＋b2，∴b＝6，c＝10，a＝8.∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.(2)设以y＝±x为渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0).当λ>0时，a2＝4λ，∴2a＝2＝6

6、⇒λ＝；当λ<0时，a2＝－9λ，∴2a＝2＝6⇒λ＝－1.∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.(3)设与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0).将点(2，－2)代入双曲线方程，得λ＝－(－2)2＝－2，∴双曲线的标准方程为－＝1.反思与感悟　(1)求双曲线的标准方程的步骤①确定或分类讨论双曲线的焦点所在的坐标轴；②设双曲线的标准方程；③根据已知条件或简单性质列方程，求待定系数；④求出a，b，写出方程.(2)①与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(λ≠0，－b2<λ

7、可设为－＝λ(λ≠0)；③渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0).跟踪训练2　求适合下列条件的双曲线的标准方程.(1)一个焦点为(0，13)，且离心率为；(2)双曲线过点(3，9)，离心率e＝；(3)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3).解　(1)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，又＝，∴a＝5，b＝＝12，故所求双曲线的标准方程为－＝1.(2)由e2＝，得＝，设a2＝9k(k>0)，则c2＝10k，b2＝c2－a2＝k.∴设所求双曲线方程为－＝1①或－＝1.②将(3，9)代入①，得k＝－161

8、，与k>0矛盾，无解；将(3，9)代入②，得k＝9.故所求双曲线方程为－＝1.(3)方法一　∵双曲线的渐近线方程为y＝±x