高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3 双曲线 2.3.1 双曲线及其标准方程导学案 北师大版选修.doc

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1、2.3.1　双曲线及其标准方程学习目标　1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.知识点一　双曲线的定义思考1　如图，取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点应满足怎样的几何条件？答案　曲线上的点满足条件：

2、MF1

3、－

4、MF2

5、＝常数；如果改变一下笔尖位置，使

6、MF2

7、－

8、MF1

9、＝常数，可得到另

10、一条曲线.思考2　已知点P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点P的轨迹是什么图形？(1)

11、－

12、＝6；(2)－＝6.答案　(1)∵

13、－

14、表示点P(x，y)到两定点F1(－5，0)、F2(5，0)的距离之差的绝对值，

15、F1F2

16、＝10，∴

17、

18、PF1

19、－

20、PF2

21、

22、＝6<

23、F1F2

24、，故点P的轨迹是双曲线.(2)∵－表示点P(x，y)到两定点F1(－4，0)、F2(4，0)的距离之差，

25、F1F2

26、＝8，∴

27、PF1

28、－

29、PF2

30、＝6<

31、F1F2

32、，故点P的轨迹是双曲线的右支.梳理　把平面内到两定

33、点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于

34、F1F2

35、)的点的集合叫作双曲线.定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距.知识点二　双曲线的标准方程思考1　双曲线的标准形式有两种，如何区别焦点所在的坐标轴？答案　双曲线标准方程中x2与y2的系数的符号决定了焦点所在的坐标轴.当x2的系数为正时，焦点在x轴上；当y2的系数为正时，焦点在y轴上，而与分母的大小无关.思考2　如图，类比椭圆中a，b，c的意义，你能在y轴上找一点B，使

36、OB

37、＝b吗？答案　以双曲线与x轴的交点A

38、为圆心，以线段OF2为半径画圆交y轴于点B.类型一　双曲线的定义及应用命题角度1　双曲线中的焦点三角形问题例1　(1)如图，已知双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，点A，B均在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，

39、AB

40、＝m，F1为双曲线的左焦点，则△ABF1的周长为________.(2)已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1、F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________.答案　(1)4a＋2m　(2)16解析　(1)由双曲线的定义，知

41、AF

42、1

43、－

44、AF2

45、＝2a，

46、BF1

47、－

48、BF2

49、＝2a.又

50、AF2

51、＋

52、BF2

53、＝

54、AB

55、，所以△ABF1的周长为

56、AF1

57、＋

58、BF1

59、＋

60、AB

61、＝4a＋2

62、AB

63、＝4a＋2m.(2)由－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.由定义和余弦定理，得

64、PF1

65、－

66、PF2

67、＝±6，

68、F1F2

69、2＝

70、PF1

71、2＋

72、PF2

73、2－2

74、PF1

75、·

76、PF2

77、cos60°，所以102＝(

78、PF1

79、－

80、PF2

81、)2＋

82、PF1

83、·

84、PF2

85、，所以

86、PF1

87、·

88、PF2

89、＝64，∴＝

90、PF1

91、

92、PF2

93、sin∠F1PF2＝×64×＝1

94、6.引申探究本例(2)中若∠F1PF2＝90°，其他条件不变，求△F1PF2的面积.解　由双曲线方程知a＝3，b＝4，c＝5，由双曲线的定义得

95、

96、PF1

97、－

98、PF2

99、

100、＝2a＝6，所以

101、PF1

102、2＋

103、PF2

104、2－2

105、PF1

106、·

107、PF2

108、＝36.①在Rt△F1PF2中，由勾股定理得

109、PF1

110、2＋

111、PF2

112、2＝

113、F1F2

114、2＝(2c)2＝100.②将②代入①得

115、PF1

116、·

117、PF2

118、＝32，所以＝

119、PF1

120、·

121、PF2

122、＝16.反思与感悟　求双曲线中焦点三角形面积的方法(1)方法一：①根据双曲线的定义求出

123、

124、

125、PF1

126、－

127、PF2

128、

129、＝2a；②利用余弦定理表示出

130、PF1

131、，

132、PF2

133、，

134、F1F2

135、之间满足的关系式；③通过配方，利用整体的思想求出

136、PF1

137、·

138、PF2

139、的值；④利用公式＝×

140、PF1

141、·

142、PF2

143、sin∠F1PF2求得面积.(2)方法二：利用公式＝×

144、F1F2

145、×

146、yP

147、(yP为P点的纵坐标)求得面积.特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件

148、

149、PF1

150、－

151、PF2

152、

153、＝2a的变形使用，特别是与

154、PF1

155、2＋

156、PF2

157、2，

158、PF1

159、·

160、PF2

161、间的关系.跟踪训练1　已知F1，

162、F2为双曲线C：x2－y2＝2的左，右焦点，点P在C上，

163、PF1

164、＝2

165、PF2

166、，则cos∠F1PF2等于(　　)A.B.C.D.答案　C解析　由双曲线的定义得

167、PF1

168、－

169、PF2

170、＝2，又

171、PF1

172、＝2

173、PF2

174、，∴

175、PF2

176、＝2，

177、PF1

178、＝4，

179、F1F2

180、＝4，在△F1PF2中由余弦定理：cos∠F1PF2＝＝＝.命题角度2　由双曲线定义求轨迹方程例2　已知在△ABC中，三边长分别为a，b，c，B(－1，0)，C(1，0)，求满足sinC－sinB