高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.2 椭圆的简单几何性质 第一课时 椭圆的简单几何性质学案（含解析）新人教A版选修.doc

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1、第一课时　椭圆的简单几何性质[提出问题]图中椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．问题1：椭圆具有对称性吗？提示：有．椭圆是以原点为对称中心的中心对称图形，也是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形．问题2：可以求出椭圆与坐标轴的交点坐标吗？提示：可以，令y＝0得x＝±a，故A1(－a,0)，A2(a,0)，同理可得B1(0，－b)，B2(0，b)．问题3：椭圆方程中x，y的取值范围是什么？提示：x∈[－a，a]，y∈[－b，b]．问题4：当a的值不变，b逐渐变小时，椭圆的形状有何变化？提示：b越小，椭圆越扁．[导入新知]椭圆的简单几何性质焦点的位置焦

2、点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程＋＝1(a＞b＞0)＋＝1(a＞b＞0)范围－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)轴长短轴长＝2b，长轴长＝2a焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距

3、F1F2

4、＝2c对称性对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)离心率e＝(0

5、x

6、≤a，由＝1－≤1可得

7、y

8、≤b，从而可得椭圆的范围．2

9、．椭圆有四个顶点、两个焦点共六个特殊点，研究椭圆时一定要注意这六个特殊点的位置，注意长轴长是2a，而不是a.3．椭圆的离心率e的大小，描述了椭圆的扁平程度．e越接近1，则c就越接近a，从而b＝越小，因此，椭圆越扁；反之，e越接近0，则c就越接近0，从而b越接近a，这时椭圆越接近圆．特别地，当a＝b时，c＝0，椭圆就变为圆了，此时方程为x2＋y2＝a2.椭圆的几何性质[例1]　求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．[解]　椭圆方程变形为＋＝1，∴a＝3，b＝2，∴c＝＝＝.∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a＝6,2c＝2

10、，焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，B1(0，－2)，B2(0,2)，离心率e＝＝.[类题通法]求椭圆的性质时，应把椭圆化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，这样便于直观地写出a，b的数值，进而求出c，求出椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质．[活学活用]已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质．解：(1)由椭圆C1：＋＝1可得其长半

11、轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，离心率e＝.(2)椭圆C2：＋＝1，性质：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；④离心率：e＝.利用椭圆的几何性质求其标准方程[例2]　求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴长是10，离心率是；(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.[解]　(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)．由已知得2a＝10，a＝5.又∵e

12、＝＝，∴c＝4.∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.∴椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.(2)依题意可设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且

13、OF

14、＝c，

15、A1A2

16、＝2b，则c＝b＝3，a2＝b2＋c2＝18，故所求椭圆的标准方程为＋＝1.[类题通法](1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：①确定焦点位置．②设出相应椭圆的方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)．③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．列方程

17、(组)时常用的关系式为b2＝a2－c2，e＝等．(2)在椭圆的简单性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件确定的椭圆方程可能有两个．[活学活用]求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)焦点在x轴上，短轴长为2，离心率e＝；(2)长轴长是短轴长的5倍，且过点A(5,0)．解：(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，由题意知解得a＝，b＝1，因此，椭圆的标准方程为＋y2＝1.(2)若椭圆焦点在x轴上，设其标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，由题意得解得故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1；若焦点在y轴上，设其标准方程为＋＝1(a＞b

18、＞0)，由题意，得解得故所求椭圆的标准方程为＋＝1.综上所述，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1.椭圆的离心率[例3]　如图，已知F