高中数学 第二章 圆锥曲线 2.5 圆锥曲线的几何性质学案 北师大版选修.doc

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1、2.5圆锥曲线的几何性质课标解读1.了解圆锥曲线的形成过程．2.理解圆锥曲线的统一定义．3.能用圆锥曲线的几何性质解决问题.圆锥曲线的统一定义抛物线、椭圆、双曲线都是平面上到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e(离心率)的动点的轨迹，此时定点称为焦点，定直线称为准线．当e＝1时，轨迹为抛物线；当0＜e＜1时，轨迹为椭圆；当e＞1时，轨迹为双曲线．1．你能列举几条椭圆的几何性质吗？【提示】　(1)椭圆中有“四线”(两条对称轴、两条准线)，“六点”(两个焦点、四个顶点)．注意它们之间的位置关系(如准线垂直于长轴所在的直线、焦点在长轴上等)及相互间

2、的距离(如焦点到相应顶点的距离为a－c，到相应准线的距离为－c等)．(2)设椭圆方程＋＝1(a＞b＞0)上任意一点为P(x，y)，则

3、OP

4、＝＝＝.∵－a≤x≤a，∴x＝0时，

5、OP

6、有最小值b，这时，P在短轴端点处；当x＝±a时，

7、OP

8、有最大值a，这时P在长轴端点处．(3)椭圆上任意一点P(x，y)(y≠0)与两焦点F1(－c,0)，F2(c,0)构成△PF1F2称之为焦点三角形，周长为2(a＋c)．(4)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形的边长有a2＝b2＋c2.2．由双曲线的特征三角形我们可得到什么？【提示】　双曲线的特

9、征三角形和椭圆类似，如图中△OAB称为双曲线的特征三角形，它几乎包含了双曲线的所有基本特征量：

10、OA

11、＝a，

12、AB

13、＝b，

14、OB

15、＝

16、OF2

17、＝c，cos∠AOB＝＝，OB所在的直线即为双曲线的渐近线y＝x，又F2在OB上的射影记作G，则

18、OG

19、＝a，

20、F2G

21、＝b(注意：△OAB≌△OGF2)．G的横坐标记作xG，则xG＝(由射影定理可得)，那么过G作y轴的平行线l，显然l为双曲线右焦点F2对应的准线.圆锥曲线的几何性质图2－5－1　如图2－5－1所示，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆内部一点，且F1A⊥F1F2，椭圆的长轴长为8，

22、焦距为4，M为椭圆上任意一点，求AM＋2MF2的最小值．【思路探究】　设法将AM,2MF2转化到一条直线上，才能利用所学的求最值的基本思路，否则不易求．【自主解答】　如图所示，l1，l2为椭圆的准线，过M作MN⊥l2于N.∵e＝＝＝＝，∴MF2＝eMN＝MN，∴AM＋2MF2＝AM＋MN，故AM＋2MF2的最小值为A到l2的距离，∵AF1⊥F1F2，∴即求F1到l2的距离．延长F1F2交l2于Q，F1Q＝c＋＝2＋＝10，故AM＋2MF2的最小值为10.1．本题求解的关键是把到焦点的距离转化为到定直线的距离，而转化的依据是圆锥曲线的统一定义．2

23、．两线段和或差的最值问题一般转化成直线上的线段和、差的最值问题；曲面上(球面除外)的最值问题也是转化为平面上的最值问题．已知双曲线左右两个焦点分别为F1、F2，P是双曲线左支上一点，P点到左准线的距离为d，若d、PF1、PF2成等比数列，求双曲线离心率e的取值范围．【解】　如图所示，由题知＝＝e，∴PF2＝ePF1，由PF2－PF1＝2a，∴PF1＝，根据PF1≥F1A，∴≥c－a，∴(e－1)2≤2,1－≤e≤1＋，又∵e＞1，∴1＜e≤1＋，即双曲线的离心率e的取值范围是1＜e≤1＋.圆锥曲线方程　点M(x，n)与定点F(c,0)的距离和它

24、到定直线l：x＝的距离的比是常数(c＞a＞0)，求点M的轨迹方程．【思路探究】　表示出点M到定点F和定直线l的距离，直接列关系式求解．【自主解答】　设d是点M到直线l的距离．根据题意，所求轨迹就是集合P＝{M

25、＝}，由此得＝.化简，得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)．设c2－a2＝b2，就可化为－＝1(a＞0，b＞0)．1．解答本题时化简是关键．2．平面直角坐标系也是解决几何问题的重要工具．通过平面直角坐标系可对几何元素进行定量的分析．在平面内，两个定点的距离为8，动点M到两个定点的距离的和为10，求动点M的轨迹方程．【解】　以

26、两点的连线段所在的直线为x轴，线段的中垂线为y轴建立直角坐标系．则由椭圆的定义知，所求动点的轨迹为椭圆．设所求椭圆方程为＋＝1，∵2a＝10,2c＝8，∴a＝5，c＝4，则b2＝9，故所求椭圆的方程为＋＝1.利用Dandelin双球研究圆锥曲线问题图2－5－2　一个顶角为60°的圆锥面被一个平面π所截，如图2－5－2所示，Dandelin双球均在顶点S的下方，且一个半径为1，另一个半径为5，则截线的形状是什么曲线？其离心率是多少？【思路探究】　解答本题可先在所给的几何图形中找到椭圆的元素，再利用相应关系研究截线的性质．【自主解答】　Dandel

27、in双球均在顶点S的同侧，所以截线为椭圆．设A、B分别是该椭圆的长轴的两个端点，F1、F2分别是其焦点，O1、O2分别为Dandelin双球中小、大球