高中数学 第二章 圆锥曲线 4 平面截圆锥面 5 圆锥曲线的几何性质学案 北师大版选修4-1

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1、§4&§5平面截圆锥面圆锥曲线的几何性质[对应学生用书P39]1．平面截圆锥面(1)当截面β与圆锥面的轴l垂直时，所得交线是一个圆．(2)任取一平面β，它与圆锥面的轴l所成的夹角为θ(β与l平行时，记θ＝0°)，当θ>σ(σ为圆锥母线与轴交角)时，平面截圆锥面所得交线为椭圆；当θ＝σ时，交线为抛物线；当θ<σ时，交线为双曲线．2．圆锥曲线的几何性质抛物线、椭圆、双曲线都是平面上到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e(离心率)的动点的轨迹，此时定点称为焦点，定直线称为准线．当e＝1时，轨迹为抛物线；当01时，轨迹为双曲线．1

2、．当平面β与圆锥面的轴l所成的夹角为θ＝时，其交线应为什么？提示：圆2．由圆锥曲线的统一定义可知，椭圆、双曲线的准线有几条？定义e时，定点与定直线有怎样的关系？提示：因为椭圆、双曲线各有两个焦点，故其准线有两条．定义e时，定点与定直线是对应的．即右焦点应对应右准线、左焦点对应左准线．[对应学生用书P40]圆锥曲线的探讨[例1]　在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于O点，夹角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面，任取平面γ，若它与轴l的交角为β(当γ与l平行时，记β＝0)，求证：β＝α时，平面γ与圆锥的交线是抛物线．[思路点拨]　本

3、题主要考查平面截圆锥面的曲线的讨论问题．解题时，注意利用条件，结合图形利用抛物线的定义求解．非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。[精解详析]　如图，设平面γ与圆锥内切球相切于点F，球与圆锥的交线为S，过该交线的平面为γ′，γ与γ′相交于直线m.在平面γ与圆锥的截线上任取一点P，连接PF.过点P作PA⊥m，交m于点A，过点P作γ′的垂线，垂足为B，连接AB，则AB⊥m，∴∠PAB是γ与γ′所成二面角的平面角．连接点P与圆锥的顶点，与S相交

4、于点Q，连接BQ，则∠BPQ＝α，∠APB＝β.在Rt△APB中，PB＝PAcosβ.在Rt△PBQ中，PB＝PQcosα.∴＝.又∵PQ＝PF，α＝β，∴＝1，即PF＝PA，动点P到定点F的距离等于它到定直线m的距离，故当α＝β时，平面与圆锥的交线为抛物线．已知平面与圆锥面的轴的夹角为β，曲线与轴的夹角为α，当α＝β时，平面与圆锥的交线为抛物线．β<α时为双曲线，β>α时为椭圆．讨论曲线类型时注意结合图形．1．一圆锥面的母线和轴线成30°角，当用一与轴线成60°的不过顶点的平面去截圆锥面时，所截得的截线是(　　)A．椭圆　　　　　　　　B．双曲线C．抛

5、物线D．两条相交直线解析：选A　如图可知应为椭圆．非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。圆锥曲线的几何性质[例2]　如图，已知圆锥母线与轴的夹角为α，平面γ与轴线夹角为β，焦球的半径分别为R，r，且α<β，R>r，求平面γ与圆锥面交线的焦距F1F2，轴长G1G2.[思路点拨]　本题主要考查圆锥曲线的几何性质．由β>α知截线为椭圆．通过数形结合转化到相应平面中求解．[精解详析]　如图，在Rt△O1F1O中，OF1＝＝.在Rt△O2F2O中，

6、OF2＝＝.∴F1F2＝OF1＋OF2＝.同理，O1O2＝.在Rt△O1O2H中，O1H＝O1O2·cosα＝·cosα.又O1H＝A1A2，由切线定理，容易验证G1G2＝A1A2，∴G1G2＝·cosα.已知圆锥曲线的结构特点，解决有关计算问题，通常利用圆锥曲线结构特点中的数量等式关系，列出方程来解决．2．已知圆锥母线与轴夹角为60°，平面γ与轴夹角为45°，则平面γ与圆锥交线的离心率是，该曲线的形状是．非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和

7、支持。解析：e＝＝.∵e>1，∴曲线为双曲线．答案：　双曲线圆锥曲线的统一定义[例3]　已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且BF＝2FD，则C的离心率为．[精解详析]　法一：如图，

8、BF

9、＝＝a，作DD1⊥y轴于点D1，则由BF＝2FD，得＝＝，所以

10、DD1

11、＝

12、OF

13、＝c，即xD＝，由椭圆的第二定义得

14、FD

15、＝e(－)＝a－.又由

16、BF

17、＝2

18、FD

19、，得a＝2a－⇒e＝.法二：设椭圆方程为第一标准形式＋＝1，设D(x2，y2)，F分BD所成的比为2，xc＝⇒x2＝xc＝c；yc＝⇒y2＝＝＝－，代入椭圆方程得：＋

20、＝1⇒e＝.[答案]　由圆锥曲线的统一定义可知它沟通了焦半径与e的关系，故涉及焦