课堂新坐标高中数学第2章圆锥曲线2.5圆锥曲线的几何性质学案北师大版选修4.doc

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1、§5　圆锥曲线的几何性质1.了解圆锥曲线的形成过程.2.理解圆锥曲线的统一定义.3.能用圆锥曲线的几何性质解决问题.[基础·初探]教材整理　圆锥曲线的统一定义抛物线、椭圆、双曲线都是平面上到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e(离心率)的动点的轨迹，此时定点称为焦点，定直线称为准线.当e＝1时，轨迹为抛物线；当0＜e＜1时，轨迹为椭圆；当e＞1时，轨迹为双曲线.1.平面内若动点M到两定点F1，F2的距离和为定值m(m＞0)，则动点M的轨迹是(　　)【导学号：】A.椭圆B.线段C.不存在D.以上都有可能【解析】　当m＞

2、F1F2

3、时，轨迹为椭圆；当m＝

4、F1F2

5、时，

6、轨迹为线段；当m＜

7、F1F2

8、时，轨迹不存在.【答案】　D2.双曲线的两条准线把两焦点所连线段三等分，则它的离心率为(　　)A.B.C.D.2【解析】　由题意知＝，∴＝3，∴e＝＝.【答案】　B[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]圆锥曲线的几何性质　如图251所示，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆内部一点，且F1A⊥F1F2，椭圆的长轴长为8，焦距为4，M为椭圆上任意一点，求AM＋2MF2的最小值.图251【精彩点拨】　设法将AM,2MF2转化到一条直线上，才能利用所学

9、的求最值的基本思路，否则不易求.【自主解答】　如图所示，l1，l2为椭圆的准线，过M作MN⊥l2于N.∵e＝＝＝＝，∴MF2＝eMN＝MN，∴AM＋2MF2＝AM＋MN，故AM＋2MF2的最小值为A到l2的距离，∵AF1⊥F1F2，∴即求F1到l2的距离.延长F1F2交l2于Q，F1Q＝c＋＝2＋＝10，故AM＋2MF2的最小值为10.1.本题求解的关键是把到焦点的距离转化为到定直线的距离，而转化的依据是圆锥曲线的统一定义.2.两线段和或差的最值问题一般转化成直线上的线段和、差的最值问题；曲面上(球面除外)的最值问题也是转化为平面上的最值问题.[再练一题]1.已知双曲

10、线左右两个焦点分别为F1，F2，P是双曲线左支上一点，P点到左准线的距离为d，若d，PF1，PF2成等比数列，求双曲线离心率e的取值范围.【解】　如图所示，由题知＝＝e，∴PF2＝ePF1，由PF2－PF1＝2a，∴PF1＝，根据PF1≥F1A，∴≥c－a，∴(e－1)2≤2,1－≤e≤1＋，又∵e＞1，∴1＜e≤1＋，即双曲线的离心率e的取值范围是1＜e≤1＋.圆锥曲线方程　点M(x，n)与定点F(c,0)的距离和它到定直线l：x＝的距离的比是常数(c＞a＞0)，求点M的轨迹方程.【精彩点拨】　表示出点M到定点F和定直线l的距离，直接列关系式求解.【自主解答】　设d

11、是点M到直线l的距离.根据题意，所求轨迹就是集合P＝，由此得＝.化简，得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2).设c2－a2＝b2，就可化为－＝1(a＞0，b＞0).1.解答本题时化简是关键.2.平面直角坐标系也是解决几何问题的重要工具.通过平面直角坐标系可对几何元素进行定量的分析.[再练一题]2.在平面内，两个定点的距离为8，动点M到两个定点的距离的和为10，求动点M的轨迹方程.【解】　以两点的连线段所在的直线为x轴，线段的中垂线为y轴建立直角坐标系.则由椭圆的定义知，所求动点的轨迹为椭圆.设所求椭圆方程为＋＝1，∵2a＝10,2c＝8，∴a＝5，c＝4，

12、则b2＝9，故所求椭圆的方程为＋＝1.利用Dandelin双球研究圆锥曲线问题　一个顶角为60°的圆锥面被一个平面π所截，如图252所示，Dandelin双球均在顶点S的下方，且一个半径为1，另一个半径为5，则截线的形状是什么曲线？其离心率是多少？图252【精彩点拨】　解答本题可先在所给的几何图形中找到椭圆的元素，再利用相应关系研究截线的性质.【自主解答】　Dandelin双球均在顶点S的同侧，所以截线为椭圆.设A，B分别是该椭圆的长轴的两个端点，F1，F2分别是其焦点，O1，O2分别为Dandelin双球中小、大球的球心，C，D分别为截面圆与母线的切点.∵∠CSO1

13、＝30°，O1C＝1，∴SC＝.同理SD＝5，则CD＝4.又∵BF1＋BF2＝BC＋BD＝CD，∴2a＝BF1＋BF2＝4，即a＝2.再延长O1F1交O2D于点G，过O2作O2F⊥F1G交F1G于点F，则O1F＝r1＋r2＝6.又∵CD＝4，∠DSO2＝30°，∴O1O2＝8，在Rt△O1O2F中，FO2＝＝2.即2c＝F1F2＝FO2＝2，故c＝.所以，离心率e＝＝＝.1.解答本题时，先在图形中找出长轴与焦点，然后再求值.2.解决此类问题可先把空间图形转化为平面图形，然后利用圆锥曲线的定义及性质来解决.[再练一题]3.已知圆锥面S，其母线与轴线所成