高中数学 第二章 参数方程 第1节 第3课时 参数方程和普通方程的互化教学案 新人教A版选修.doc

《高中数学 第二章 参数方程 第1节 第3课时 参数方程和普通方程的互化教学案 新人教A版选修.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第3课时　参数方程和普通方程的互化[核心必知]参数方程和普通方程的互化(1)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线类型，曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．(2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．[问题思考]1．将参数方程化为普通方程的实质是什么？提示：将参数方程化为普通方程的实质是消参法的应用．2．将普通方程化为参数方程时，所得到的参数方程是唯一的吗？提示：同一个普通方程，选取的参数不同，所得到的参数方程也不同，所以在写参数方程时，必须注明参数是哪一个．　　　根据所给条件，把曲线的普通方

2、程化为参数方程．(1)＋＝1，x＝cosθ＋1.(θ为参数)(2)x2－y＋x－1＝0，x＝t＋1.(t为参数)[精讲详析]　本题考查化普通方程为参数方程的方法，解答本题只需将已知的变量x代入方程，求出y即可．(1)将x＝cosθ＋1代入＋＝1得：y＝2＋sinθ.∴(θ为参数)这就是所求的参数方程．(2)将x＝t＋1代入x2－y＋x－1＝0得：y＝x2＋x－1＝(t＋1)2＋t＋1－1＝t2＋3t＋1∴(t为参数)这就是所求的参数方程．(1)求曲线的参数方程，首先要注意参数的选取，一般来说，选择参数时应注意以下两点：一是曲线上每一点的坐标(x，y)都能由参数取某一值唯一地确定出来

3、；二是参数与x，y的相互关系比较明显，容易引出方程．(2)选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价．1．把方程xy＝1化为以t为参数的参数方程是(　　)A.　B.　C.　D.解析：选D　由xy＝1得x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，而A中x∈[0，＋∞)，B中x∈[－1，1]，C中x∈[－1，1]，只有D选项中x、y的取值范围与方程xy＝1中x、y的取值范围相对应．　　　分别在下列两种情况下，把参数方程化为普通方程：(1)θ为参数，t为常数；(2)t为参数，θ为常数．[精讲详析]　本题考查化参数方程为普通方程的方法，解答本题需要分清谁为参数，谁为常数，

4、然后想办法消掉参数．(1)当t＝0时，y＝0，x＝cosθ，即

5、x

6、≤1，且y＝0；当t≠0时，cosθ＝，sinθ＝，而sin2θ＋cos2θ＝1，即＋＝1.(2)当θ＝kπ，k∈Z时，y＝0，x＝±(et＋e－t)，即

7、x

8、≥1，且y＝0；当θ＝kπ＋，k∈Z时，x＝0，y＝±(et－e－t)，即x＝0；当θ≠，k∈Z时，得即得2et·2e－t＝(＋)(－)，即－＝1.(1)将参数方程化为普通方程时，消去参数的常用方法有：①代入法．先由一个方程求出参数的表达式(用直角坐标变量表示)，再代入另一个方程．②利用代数或三角函数中的恒等式消去参数．例如对于参数方程如果t是常数，θ是参数

9、，那么可以利用公式sin2θ＋cos2θ＝1消参；如果θ是常数，t是参数，那么可以利用－＝4消参．(2)一般来说，如果消去曲线的参数方程中的参数，就可以得到曲线的普通方程，但要注意，这种消参的过程要求不减少也不增加曲线上的点，即要求参数方程和消去参数后的普通方程是等价的．2．已知某曲线C的参数方程为(其中t是参数，a∈R)，点M(3，1)在该曲线上．(1)求常数a；(2)求曲线C的普通方程．解：(1)由题意可知有，故∴a＝1.(2)由已知及(1)可得，曲线C的方程为由第一个方程得t＝代入第二个方程得y＝()2，即(x－1)2＝4y为所求.　　　已知曲线C1：(t为参数)，C2：(θ

10、为参数)．(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C1上的点P对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线x－2y－7＝0距离的最小值．[精讲详析]　本题考查化参数方程为普通方程的方法以及点到直线的距离的求法．解答本题需要先把题目条件中的参数方程转化为普通方程，然后根据普通方程解决问题．(1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C2：＋＝1.C1为圆心是(－4，3)，半径是1的圆．C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．(2)当t＝时，P(－4，4)，Q(8cosθ，3sinθ)，故M(－2＋4cosθ，2＋

11、sinθ)．M到C3的距离d＝

12、4cosθ－3sinθ－13

13、＝

14、5sin(φ－θ)－13

15、(φ为锐角且tanφ＝)．从而当sin(φ－θ)＝1时，d取得最小值.(1)将参数方程转化为我们所熟悉的普通方程是解决问题的关键．(2)将所求的问题用恰当的参数表示，是解决此类问题的转折点．3．已知方程y2－6ysinθ－2x－9cos2θ＋8cosθ＋9＝0，(0≤θ＜2π)．(1)试证：不论θ如何变化，方程都表示顶点在同一椭圆上的抛物线；(2)θ为何值时，该抛物线在直线x＝