高中数学 第三章 导数及其应用 3.4 导数在实际生活中的应用学案 苏教版选修.doc

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1、3.4导数在实际生活中的应用1．导数在实际生活中有着广泛的应用．如用料最省、利润最大、效率最高等问题一般可以归结为函数的最值问题，从而可以用导数来解决．2．利用导数解决优化问题的流程：解决生活中的优化问题的思路：(1)审题：阅读理解文字表达的题意、分清条件和结论．(2)建模：利用数学知识建立相应的数学模型．(3)解模：把数学问题转化为函数求解．(4)检验．面积、容积的最值[例1]　用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图所示)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？[思路点拨

2、]　设出所截正方形的边长为x，则该容器的底面边长和高均可用x表示，得到容积关于x的函数，用导数法求解．[精解详析]　设容器的高为xcm，容器的体积为V(x)cm3.则V(x)＝x(90－2x)(48－2x)＝4x3－276x2＋4320x(00，V(x)是增函数；当10

3、时取得最大值，其最大值为V(10)＝10×(90－20)×(48－20)＝19600(cm3)．即当容器的高为10cm时，容器的容积最大，最大容积是19600cm3.[一点通]　解决面积、容积的最值问题，要正确引入变量，将面积、容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．如果在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义，该极值点也是最值点．1．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为________cm.解析：设该漏斗的高为xcm，则底面半径为cm，其体积为V＝πx(202－x2)＝π(400x－x3)(0

4、0－3x2)．令V′＝0，解得x1＝，x2＝－(舍去)．当00；当20，y>25.两栏面积之和为2(x－20)·＝18000，由此得y＝＋25.广告的面积S＝xy＝x(＋25)＝＋25x

5、，∴S′＝＋25＝＋25.令S′>0，得x>140，令S′<0，得20

6、因素．记余下工程的费用为y万元．(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？[思路点拨]　解答本题可先根据题目条件写出函数关系式，再利用导数方法求最值．[精解详析]　(1)设需新建n个桥墩，则(n＋1)x＝m，即n＝－1.所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋)x＝256＋(2＋)x＝＋m＋2m－256.(2)由(1)知，f′(x)＝－＋mx－＝(x－512)．令f′(x)＝0，得x＝512，所以x＝64.当0＜x＜64时，f′(x)＜0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；当64＜x＜640时，f′(x)＞0，f(x)在区间(

7、64,640)内为增函数．所以f(x)在x＝64处取得最小值．此时n＝－1＝－1＝9.故需新建9个桥墩才能使y最小．[一点通]　用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际问题做答．3．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．解析：设圆柱的底面半径为r，高为h，则V＝27π＝πr2h，∴h＝，若用料最省，则表面积最小，设表面积为S，则S＝π