高中数学 第3章 导数及其应用 4 导数在实际生活中的应用学案 苏教版选修.doc

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1、3.4　导数在实际生活中的应用1.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题的方法.(重点)2.提高学生综合运用导数知识解题的能力，培养化归转化的思想意识.(难点)[基础·初探]教材整理　导数的实际应用阅读教材P93～P96练习以上部分，完成下列问题.1.导数的实际应用导数在实际生活中有着广泛的应用，如用料最省、利润最大、效率最高等问题一般可以归结为函数的最值问题，从而可用导数来解决.2.用导数解决实际生活问题的基本思路1.判断正误：(1)应用导数可以解决所有实际问题中的最值问题.(　　)(2)应用导

2、数解决实际应用问题，首先应建立函数模型，写出函数关系式.(　　)(3)应用导数解决实际问题需明确实际背景.(　　)【解析】　(1)×.如果实际问题中所涉及的函数不可导、就不能应用导数求解.(2)√.求解实际问题一般要建立函数模型，然后利用函数的性质解决实际问题.(3)√.要根据实际问题的意义确定自变量的取值.【答案】　(1)×　(2)√　(3)√2.生产某种商品x单位的利润L(x)＝500＋x－0.001x2，生产________单位这种商品时利润最大，最大利润是________.【解析】　L′(x)

3、＝1－0.002x，令L′(x)＝0，得x＝500，∴当x＝500时，最大利润为750.【答案】　500　750[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑问2：_______________________________________

4、_________________解惑：________________________________________________________疑问3：________________________________________________________解惑：________________________________________________________[小组合作型]面积容积的最值问题　有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形

5、状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上.设CD＝2x，梯形的面积为S.(1)求面积S关于x的函数，并写出其定义域；(2)求面积S的最大值.【精彩点拨】　(1)建立适当的坐标系，按照椭圆方程和对称性求面积S关于x的函数式；(2)根据S的函数的等价函数求最大值.【自主解答】　(1)依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系如图所示，则点C的坐标为(x，y).∵点C在椭圆上，∴点C满足方程＋＝1(y≥0)，则y＝2(0

6、4(x＋r)2(r2－x2)(0＜x＜r)则S′＝8(x＋r)2(r－2x)令S′＝0，解得x＝r或x＝－r(舍去).当x变化时，S′，S的变化情况如下表：xS′＋0－S∴x＝r时，S取得最大值，即梯形面积S的最大值为.1.求面积、体积的最大值问题是生活、生产中的常见问题，解决这类问题的关键是根据题设确定出自变量及其取值范围，利用几何性质写出面积或体积关于自变量的函数，利用导数的方法来求解.2.选择建立适当的坐标系，利用点的坐标建立函数关系或曲线方程，以利于解决问题.[再练一题]1.用总长为14.

7、8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器的底面的一边长比另一边长长0.5m，那么高为多少时，容器的容积最大？并求它的最大容积.【解】　设容器底面一边长为xm，则另一边长为(x＋0.5)m，高为＝(3.2－2x)m由解得0＜x＜1.6.设容器的容积为ym3，则y＝x(x＋0.5)(3.2－2x)＝－2x3＋2.2x2＋1.6x，所以y′＝－6x2＋4.4x＋1.6.令y′＝0，则15x2－11x－4＝0，解得x1＝1，x2＝－(舍去).在定义域(0,1.6)内只有x＝1处使y′＝0，x＝1是函数

8、y＝－2x3＋2.2x2＋1.6x在(0,1.6)内的唯一的极大值点，也就是最大值点.因此，当x＝1时，y取得最大值，ymax＝－2＋2.2＋1.6＝1.8，这时高为3.2－2×1＝1.2(m).故高为1.2m时，容器的容积最大，最大容积为1.8m3.用料最省、节能减耗问题　(2016·杭州高二检测)如图341所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A处，乙厂与甲厂在海岸的同侧，乙厂位于离海岸40km的B处，乙厂到海岸的垂足D与A相距50km.两