2018_2019学年高中数学导数及其应用3.4导数在实际生活中的应用学案苏教版

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1、3.4　导数在实际生活中的应用学习目标：1.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题的方法．(重点)　2.通过对实际问题的研究，促进学生分析问题、解决问题以及数学建模能力的提高．(难点)[自主预习·探新知]1．导数的实际应用导数在实际生活中有着广泛的应用，如用料最省、利润最大、效率最高等问题一般可以归结为函数的最值问题，从而可用导数来解决．2．用导数解决实际生活问题的基本思路[基础自测]1．判断正误：(1)应用导数可以解决所有实际问题中的最值问题．(　　)(2)应用导数解决实际应用问题，首先应建立函数模型，写出函数关系式．(　　)(3)应用导数解决实际问题需明确实际背景．(　　)【解析】　(

2、1)×.如果实际问题中所涉及的函数不可导、就不能应用导数求解．(2)√.求解实际问题一般要建立函数模型，然后利用函数的性质解决实际问题．(3)√.要根据实际问题的意义确定自变量的取值．【答案】　(1)×　(2)√　(3)√2．生产某种商品x单位的利润L(x)＝500＋x－0.001x2，生产________单位这种商品时利润最大，最大利润是________．【解析】　L′(x)＝1－0.002x，令L′(x)＝0，得x＝500，∴当x＝500时，最大利润为750.【答案】　500　750[合作探究·攻重难]面积容积的最值问题　有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板切割

3、成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上．设CD＝2x，梯形的面积为S.(1)求面积S关于x的函数，并写出其定义域；(2)求面积S的最大值.【导学号：95902246】[思路探究]　(1)建立适当的坐标系，按照椭圆方程和对称性求面积S关于x的函数式；(2)根据S的函数的等价函数求最大值．【自主解答】　(1)依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系如图所示，则点C的坐标为(x，y)．∵点C在椭圆上，∴点C满足方程＋＝1(y≥0)，则y＝2(0

4、(x＋r)2(r－2x)令S′＝0，解得x＝r或x＝－r(舍去)．当x变化时，S′，S的变化情况如下表：xS′＋0－S↗↘∴x＝r时，S取得最大值，即梯形面积S的最大值为.[规律方法]　1．求面积、体积的最大值问题是生活、生产中的常见问题，解决这类问题的关键是根据题设确定出自变量及其取值范围，利用几何性质写出面积或体积关于自变量的函数，利用导数的方法来求解．2．选择建立适当的坐标系，利用点的坐标建立函数关系或曲线方程，以利于解决问题．[跟踪训练]1.在一个半径为1的半球材料中截取两个高度均为h的圆柱，其轴截面如图341所示．设两个圆柱体积之和为V＝f(h)．图341(1)求f(h)的表达式，并

5、写出h的取值范围．(2)求两个圆柱体积之和V的最大值．【解】　(1)自下而上两个圆柱的底面半径分别为：r1＝，r2＝.它们的高均为h，所以体积之和V＝f(h)＝πrh＋πrh＝πh＝π.因为0＜2h＜1，所以h的取值范围是.(2)由f(h)＝π(2h－5h3)，得f′(h)＝π(2－15h2)，令f′(h)＝0，因为h∈，得h＝.所以当h∈时，f′(h)＞0；当h∈时，f′(h)＜0.所以f(h)在上为增函数，在上为减函数，所以当h＝时，f(h)取得极大值也是最大值，f(h)的最大值为f＝.答：两个圆柱体积之和V的最大值为.用料最省、节能减耗问题　如图342所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直

6、线海岸的岸边A处，乙厂与甲厂在海岸的同侧，乙厂位于离海岸40km的B处，乙厂到海岸的垂足D与A相距50km.两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂铺设的水管费用分别为每千米3a元和5a元，则供水站C建在何处才能使水管费用最省？【导学号：95902247】图342[思路探究]　先列出自变量，通过三角知识列出水管费用的函数，然后求导，根据单调性求出最小值．【自主解答】　设C点距D点xkm，则BD＝40km，AC＝(50－x)km，∴BC＝＝(km)．又设总的水管费用为y元，依题意，得y＝3a(50－x)＋5a(0≤x≤50)，则y′＝－3a＋，令y′＝0，解得x＝30.当x∈[0,3

7、0)时，y′＜0，当x∈(30,50]时，y′＞0,∴当x＝30时函数取得最小值，此时AC＝50－x＝20(km)，即供水站建在A，D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省．[规律方法]　1．像本例节能减耗问题，背景新颖，信息较多，应准确把握信息，正确理清关系，才能恰当建立函数模型．2．实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等都需要利用导数求解相应函数的最小值，此时根据f′(x)＝0求