高中数学 第三章 基本初等函数（Ⅰ）3.2.3 指数函数与对数函数的关系学案 新人教B版必修.doc

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1、3.2.3　指数函数与对数函数的关系[学习目标]　1.了解反函数的概念，知道指数函数和对数函数互为反函数，弄清它们的图象间的对称关系.2.利用图象比较指数函数、对数函数增长的差异.3.利用指数、对数函数的图象性质解决一些简单问题.[知识链接]在同一坐标中，作出函数y＝2x与y＝log2x的图象，两图象关于直线y＝x对称.[预习导引]1.反函数(1)互为反函数的概念当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量.称这两个函数互为反函数.(2)反函数的记法：函数y＝f(x)的反函

2、数通常用y＝f－1(x)表示.2.指数函数与对数函数的关系(1)指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数.(2)指数函数y＝ax与对数函数y＝logax的图象关于y＝x对称.要点一　求反函数例1　写出下列函数的反函数：(1)y＝lgx；(2)y＝logx；(3)y＝()x；(4)y＝x.解　(1)y＝lgx的底数为10，它的反函数为指数函数y＝10x.(2)y＝logx的底数为，它的反函数为指数函数y＝x.(3)y＝()x的底数为，它的反函数为对数函数y＝logx(x＞0).(4)y＝x的底数为，它的反函数为对数函数y＝logx(

3、x＞0).规律方法　指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数.跟踪演练1　求下列函数的反函数：(1)y＝log2x；(2)y＝x；(3)y＝5x＋1.解　(1)由y＝log2x，得y∈R，x＝2y，∴f－1(x)＝2x，x∈R.(2)由y＝x，得x＝logy且y＞0.∴f－1(x)＝logx(x＞0).(3)由y＝5x＋1，得x＝且y∈R，∴f－1(x)＝，x∈R.要点二　互为反函数的性质应用例2　已知函数y＝ax＋b(a＞0且a≠1)的图象过点(1,4)，其反函数的图象过点(2,0)，求a，b的值.解　∵y＝ax＋b的图象过点(

4、1,4)，∴a＋b＝4.①又∵y＝ax＋b的反函数图象过点(2,0)，∴点(0,2)在原函数y＝ax＋b的图象上.a0＋b＝2.②联立①②得a＝3，b＝1.规律方法　互为反函数的图象关于直线y＝x对称是反函数的重要性质，由此可得互为反函数图象上任一成对的相应点也关于y＝x对称，所以若点(a，b)在函数y＝f(x)图象上，则点(b，a)必在其反函数y＝f－1(x)图象上.跟踪演练2　已知f(x)＝log3x，则f－1(4)＝________.答案　81解析　由log3x＝4，得x＝34＝81.即f－1(4)＝34＝81.要点三　指、对数函数的

5、图象性质应用例3　设方程2x＋x－3＝0的根为a，方程log2x＋x－3＝0的根为b，求a＋b的值.解　将方程整理得2x＝－x＋3，log2x＝－x＋3.如图可知，a是指数函数y＝2x的图象与直线y＝－x＋3交点A的横坐标，b是对数函数y＝log2x的图象与直线y＝－x＋3交点B的横坐标.由于函数y＝2x与y＝log2x互为反函数，所以它们的图象关于直线y＝x对称，由题意可得出A、B两点也关于直线y＝x对称，于是A、B两点的坐标为A(a，b)，B(b，a).而A、B都在直线y＝－x＋3上，∴b＝－a＋3(A点坐标代入)，或a＝－b＋3，故a

6、＋b＝3.规律方法　形如ax＋kx＝b(a＞0且a≠0)或logax＋kx＝b(a＞0且a≠1)的方程的求解常借助于函数图象，求两函数图象的交点.跟踪演练3　函数f(x)＝lgx＋x－3的零点所在区间为(　　)A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3，＋∞)答案　C解析　在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝lgx与y＝－x＋3的图象.它们交点的横坐标x0显然在区间(1,3)内，由此可排除A，D.至于选B还是选C，由于手工画图精确性的限制，单凭直观很难做出判断.实际上这是要比较x0与2的大小.当x＝2时，lgx＝lg2，－x＋3＝1

7、，由于lg2＜1，因此x0＞2，从而得到x0∈(2,3)，故选C.1.函数y＝logx(x＞0)的反函数是(　　)A.y＝x，x＞0B.y＝()x，x∈RC.y＝x2，x∈RD.y＝2x，x∈R答案　B解析　互为反函数的一组对数函数和指数函数的底数相同.2.若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)等于(　　)A.log2xB.C.logxD.2x－2答案　A解析　y＝ax的反函数f(x)＝logax，则1＝loga2，∴a＝2.3.已知函数y＝ax与y＝logax(a＞0且a≠1)，下列说法不

8、正确的是(　　)A.两者的图象关于直线y＝x对称B.前者的定义域、值域分别是后者的值域、定义域C.两函数在各自的定义域内的增减性相同D.y＝ax的图象经过平移可得到y＝logax