高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)3.2对数与对数函数3.2.3指数函数与对数函数的关系课堂学案新人教B版必修.doc

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1、3.2.3指数函数与对数函数的关系课堂导学三点剖析一、求函数的反函数问题【例1】求下列函数的反函数并求出它们的定义域.(1)y=(-1≤x≤0);(2)y=x2-4x+7(x≤2).解析：(1)∵y=,∴x2=1-y2.又-1≤x≤0,∴0≤x2≤1,0≤1-x2≤1,0≤≤1,即0≤y≤1.∴x=(0≤y≤1).∴所求反函数是y=-(0≤x≤1).(2)∵y=(x-2)2+3,x≤2,∴y≥3,x-2≤0.∴x-2=,x=+2(y≥3).∴所求反函数是y=+2(x≥3).温馨提示(1)根据反函数的定义,反函数存在的条件就是使自变量x在定义域内有唯一解的条件.因此,在解x时,就

2、要注意这个条件是否会得到满足,从而判定函数是否存在反函数,并进而求出y的取值范围,即反函数的定义域.(2)在交换x、y时,要将y的限制条件换成x的限制条件,并由此得到反函数的定义域.(3)可以通过求原函数值域的方法,来求出反函数的定义域.二、指数函数与对数函数的图象关系【例2】已知a>0,且a≠1,函数y=ax与y=loga(-x)的图象只能是下图中的()思路分析：可以从图象所在的位置及单调性来判别,也可利用函数的性质识别图象,特别注意底数a对图象的影响.解法一:首先,曲线y=ax只可能在上半平面,y=loga(-x)只可能在左半平面上,从而排除A、C.其次,从单调性着眼,y=

3、ax与y=loga(-x)的增减性正好相反,又可排除D.∴应选B.解法二:若01,则曲线y=ax上升且过点(0,1),而曲线y=loga(-x)下降且过点(-1,0),只有B满足条件.解法三:如果注意到y=loga(-x)的图象关于y轴的对称图象为y=logax,又y=logax与y=ax互为反函数(图象关于直线y=x对称),则可直接选定B.答案：B温馨提示(1)函数图象是一个重要问题,一定要掌握好所学过的各类函数的图象,才能解决各类变化了的问题.(2

4、)y=ax与y=logax为互为反函数关系,其图象关于y=x对称.三、指数函数与对数函数性质的综合运用【例3】设函数f(x)是函数g(x)=的反函数,则f(4-x2)的单调递增区间为()A.［0,+∞)B.(-∞,0］C.［0,2)D.(-2,0］思路分析：f(x)=logx,f(4-x2)=log(4-x2),利用复合函数的单调性求单调区间.解：f(x)=logx,f(4-x2)=log(4-x2),它是由函数logu和u=4-x2(-2

5、［0,2).故选C.答案：C温馨提示(1)研究函数的单调性要用好单调函数的定义,有时数形结合方便.(2)熟练掌握指数函数与对数函数的单调性.各个击破类题演练1求下列函数的反函数:(1)y=7x;(2)y=log8x;(3)f(x)=lnx.解析：(1)∵y=7x,x∈R,把y作为自变量,x作为y的函数,则x=log7y,y>0,通常自变量用x表示,函数用y表示,则y=log7x,x>0.∴y=7x的反函数是y=log7x(x>0).(2)∵y=log8x,∴8y=x.∴y=8x.∴y=log8x的反函数是y=8x(x∈R).(3)设y=f(x)=lnx,∴x=ey.∴y=ex.

6、∴f(x)=lnx的反函数是f-1(x)=ex(x∈R).变式提升1求函数y=的反函数.解析：由y=得y=.∴ye2x+y=e2x-1.∴e2x=.∵e2x>0,∴>0.∴-11时,在同一坐标系中,函数y=a-x与y=logax的图象是()解析：∵a>1,∴0<<1.∴y=a-x=()x是减函数.∴选A或D.而y=logax是增函数,∴选A或B.∴选A.答案：A变式提升已知f(x)=ax,g(x)=logax(a>0,a≠1),若f(3)·g(3)<0,那么f(x)与g(x)在

7、同一坐标系内的图象可能是()解析：∵f(3)·g(3)<0,∴a3·loga3<0.又∵a>0,∴loga3<0.∴0