2018版高中数学 第三章 基本初等函数（ⅰ）3.2.3 指数函数与对数函数的关系学案 新人教b版必修1

《2018版高中数学 第三章 基本初等函数（ⅰ）3.2.3 指数函数与对数函数的关系学案 新人教b版必修1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、3.2.3　指数函数与对数函数的关系1．了解反函数的概念，知道指数函数和对数函数互为反函数，弄清它们的图象间的对称关系．(重点)2．利用图象比较指数函数、对数函数增长的差异．3．利用指数、对数函数的图象性质解决一些简单问题．(难点)[基础·初探]教材整理1　指数函数与对数函数的关系阅读教材P104～P105内容，完成下列问题．1．反函数(1)互为反函数的概念当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量．称这两个函数互为反函数．(

2、2)反函数的记法：函数y＝f(x)的反函数通常用y＝f－1(x)表示．2．指数函数与对数函数的关系(1)指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数．(2)指数函数y＝ax与对数函数y＝logax的图象关于y＝x对称．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(2)函数y＝log3x的反函数的值域为R.(　　)(3)函数y＝ex的图象与y＝lgx的图象关于y＝x对称．(　　)【答案】　(1)×　(2)×　(3)×【解析】　所以g(x)的图象一定过点(1,0)．【答案】　(1,0)[小组合作

3、型]指数函数与对数函数图象之间的关系　(1)已知a>0，且a≠1，则函数y＝ax与y＝logax的图象只能是(　　)A　　　B　　　C　　　D(2)当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象是图中的(　　)A．　　　　　　　　B.C．　　　　　　　　D.(3)将y＝2x的图象________，再作关于直线y＝x对称的图象，可得到函数y＝log2(x＋1)的图象(　　)A．先向上平移一个单位长度B．先向右平移一个单位长度C．先向左平移一个单位长度D．先向下平移一个单位长度【解

4、析】　(1)y＝ax与y＝logax的单调性一致，故排除A、B；当0＜a＜1时，排除D；当a＞1时，C正确．(2)因为a>1时，y＝a－x＝,0<<1是减函数，恒过(0,1)点，y＝logax为增函数，恒过(1,0)点，故选A.(3)将y＝2x向下平移一个单位得到y＝2x－1，再作关于直线y＝x对称的图象即可得到．故选D.【答案】　(1)C　(2)A　(3)D互为反函数的图象特点1．互为反函数的图象关于直线y＝x对称；图象关于直线y＝x对称的两个函数互为反函数．2．互为反函数的两个函数在相应区间

5、上的单调性一致．3．若一奇函数有反函数，则它的反函数也是奇函数．[再练一题]1．若函数y＝的图象关于直线y＝x对称，则a的值为________.【导学号：60210089】【解析】　由y＝可得x＝，则原函数的反函数是y＝，所以＝，得a＝－1.【答案】　－1求反函数　求下列函数的反函数．(1)y＝；(2)y＝5x＋1.【精彩点拨】　按照求反函数的基本步骤求解即可．【解】　且y>0，(2)由y＝5x＋1，得x＝，∴f－1(x)＝(x∈R)．求函数的反函数的主要步骤1．从y＝f(x)中解出x＝φ(y)

6、．2．将x，y互换．3．标明反函数的定义域(即原函数的值域)，简记为“一解、二换、三写”．[再练一题]2．求下列函数的反函数．(2)y＝2x＋1.【解】　(2)由y＝2x＋1，得x＝(y－1)，对换x，y得y＝x－，又x∈R时，y∈R，∴y＝2x＋1的反函数是y＝x－(x∈R).反函数性质的应用　已知x1是方程x＋lgx＝3的一个根，x2是方程x＋10x＝3的一个根，则x1＋x2的值是(　　)A．6　　　　　　　　B．3C．2D．1【精彩点拨】　两方程分别化为：lgx＝3－x,10x＝3－x.令

7、f(x)＝lgx，g(x)＝10x，h(x)＝3－x.把三个函数图象画在同一坐标系中，则x1、x2分别是直线h(x)与f(x)、g(x)图象交点的横坐标，注意f(x)与g(x)互为反函数．【解析】　将已知的两个方程变形得lgx＝3－x,10x＝3－x.令f(x)＝lgx，g(x)＝10x，h(x)＝3－x.如图所示．记g(x)与h(x)的交点为A(x1，y1)，f(x)与h(x)的交点为B(x2，y2)，利用函数的性质易知A、B两点关于直线y＝x对称，便有x1＝y2，x2＝y1的结论．将A点坐标

8、代入直线方程，得y1＝3－x1，再将y1＝x2代入上式，得x2＝3－x1，即x1＋x2＝3.故选B.【答案】　B解答本题可先根据两个方程的形式特点，观察出从正面难以入手，可变换方程形式，用数形结合的方法解决.[再练一题]3．若把方程中的“lgx”改为“log2x”，“10x”改为“2x”，再求x1＋x2的值．【解】　将方程整理得2x＝－x＋3，log2x＝－x＋3.如图可知，a是指数函数y＝2x的图象与直线y＝－x＋3交点A的横坐标，b是对数函数y＝log2x的图象与直线y＝－x＋3交点B的横坐