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时间:2018-12-16
《2018版高中数学第三章基本初等函数ⅰ3.2.3指数函数与对数函数的关系学案新人教b版必修1》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3.2.3 指数函数与对数函数的关系学习目标 1.了解反函数的概念,理解互为反函数的图象间的关系.2.知道指数函数与对数函数互为反函数,明确它们的图象关于y=x对称.知识点一 反函数思考1 下列哪些函数是一一映射?(1)y=5x,(2)y=2x,(3)y=x,(4)y=x2. 思考2 函数y=5x与y=x的关系是什么? 梳理 反函数的概念(1)前提:函数f(x)是____________.(2)定义:把函数f(x)的因变量作为新函数的________,把函数f(x)的自变量作为新函数的________
2、,称这两个函数互为反函数.(3)记法:函数y=f(x)的反函数为y=________.知识点二 指数函数与对数函数的关系思考 指数函数y=2x与对数函数y=log2x互为反函数吗?它们的图象有什么关系? 梳理 指数函数与对数函数的关系(1)关系:指数函数y=ax(a>0,a≠1)与对数函数y=logax(a>0,a≠1)______________.(2)图象特征:指数函数y=ax(a>0,a≠1)与对数函数y=logax(a>0,a≠1)的图象________对称.(3)单调性:在区间[1,+∞)内,指
3、数函数y=2x随着x的增长函数值的增长速度逐渐________,而对数函数y=log2x的增长时速度逐渐变得________.类型一 求反函数例1 写出下列函数的反函数:(1)y=lgx;(2)y=logx;(3)y=x. 反思与感悟 求给定解析式的函数的反函数的步骤(1)求出原函数的值域,这就是反函数的定义域;(2)从y=f(x)中解出x;(3)x、y互换并注明反函数的定义域.跟踪训练1 求下列函数的反函数:(1)y=3x-1;(2)y=x3+1(x∈R);(3)y=+1(x≥0);(4)y=
4、(x∈R,x≠1). 类型二 反函数的应用例2 已知函数y=ax+b(a>0且a≠1)的图象过点(1,4),其反函数的图象过点(2,0),求a,b的值. 反思与感悟 互为反函数的图象关于直线y=x对称是反函数的重要性质,由此可得互为反函数图象上任一成对的相应点也关于y=x对称,所以若点(a,b)在函数y=f(x)图象上,则点(b,a)必在其反函数y=f-1(x)图象上.跟踪训练2 已知函数f(x)=ax-k的图象过点(1,3),其反函数y=f-1(x)的图象过(2,0)点,则f(x)的表达
5、式为________.类型三 指数函数与对数函数的综合应用例3 已知f(x)=(a∈R),f(0)=0.(1)求a的值,并判断f(x)的奇偶性;(2)求f(x)的反函数;(3)对任意的k∈(0,+∞),解不等式f-1(x)>log2. 反思与感悟 (1)明确求反函数的方法,注意在求反函数时一定要标明定义域.(2)要注意应用指数函数与对数函数是一对反函数的性质.跟踪训练3 设方程2x+x-3=0的根为a,方程log2x+x-3=0的根为b,求a+b的值. 1.函数y=x+2,x∈R的反
6、函数为( )A.x=2-yB.x=y-2C.y=2-x,x∈RD.y=x-2,x∈R2.函数y=-(x≤1)的反函数是( )A.y=x2-1(-1≤x≤0)B.y=x2-1(0≤x≤1)C.y=1-x2(x≤0)D.y=1-x2(0≤x≤1)3.函数y=f(x)的图象经过第三、四象限,则y=f-1(x)的图象经过( )A.第一、二象限B.第二、三象限C.第三、四象限D.第一、四象限4.若f(x-1)=x2-2x+3(x≤1),则f-1(4)等于( )A.B.1-C.-D.-25.若函数y=f(x)
7、的图象和函数y=log3x(x>0)的图象关于直线y=x对称,则f(x)=________.1.对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数.它们的图象关于直线y=x对称.2.反函数的性质(1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称.若函数y=f(x)的图象关于y=x对称,说明y=f(x)的反函数是它本身,如反比例函数y=.(2)若函数y=f(x)上有一点(a,b),则(b,a)必在其反函数图象上,反之若(b,a)在反函数图象上,则(a,b)必在原函数图象上.3.反函数的定义域是原函数的值域,
8、并不一定是使反函数有意义的所有x的集合.答案精析问题导学知识点一思考1 (1)(2)(3)都是一一映射,(4)不是一一映射.思考2 由y=5x得x=y,把y=5x中的自变量x和因变量y互换即得y=x.梳理 (1)一一映射 (2)自变量 因变量(3)f-1(x)知识点二思考 是,关于y=x对称.梳理 (1)互为反函数 (2)关于y=x (3)加快 很缓慢题型探究例1 解 (1)y=lgx(x>0)的底数为10,它的反函数为指数函
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