高中数学 第三章 不等式 3.4 基本不等式（2）学案 新人教A版必修.doc

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1、3.4基本不等式（2）学习目标　1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．知识点一　基本不等式及变形思考　使用基本不等式证明：≤(a>0，b>0)，并说明什么时候等号成立．答案　∵a>0，b>0，∴＋≥2>0，∴≤，即≤(a>0，b>0)，当且仅当＝，即a＝b时，等号成立．梳理　以下是基本不等式的常见变形，试用不等号连接，并说明等号成立的条件．当a>0，b>0时，有≤≤≤；当且仅当a＝b时，以上三个等号同时成立．知识点二　用基本不等式求最值思考　因为x2＋1≥2x，当且仅当x

2、＝1时取等号．所以当x＝1时，(x2＋1)min＝2.以上说法对吗？为什么？答案　错．显然(x2＋1)min＝1.x2＋1≥2x，当且仅当x＝1时取等号．仅说明抛物线y＝x2＋1恒在直线y＝2x上方，仅在x＝1时有公共点．使用基本不等式求最值，不等式两端必须有一端是定值．如果都不是定值，可能出错．梳理　基本不等式求最值的条件：(1)x，y必须是正数；(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值；(3)等号成立的条件是否满足．类型一　基本不等式与最值例1　(1)若x>0，求函数y＝x＋的最小值，并求此时x的值；(

3、2)设02，求x＋的最小值；(4)已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值．解　(1)当x>0时，x＋≥2＝4，当且仅当x＝，即x2＝4，x＝2时取等号．∴函数y＝x＋(x>0)在x＝2时取得最小值4.(2)∵00，∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22＝.当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立．∵∈.∴函数y＝4x(3－2x)(02，∴x－2>0，∴x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝6，当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立．∴x

4、＋的最小值为6.(4)方法一　∵x>0，y>0，＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)＝＋＋10≥6＋10＝16，当且仅当＝，又＋＝1，即x＝4，y＝12时，上式取等号．故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.方法二　由＋＝1，得(x－1)(y－9)＝9(定值)．由＋＝1可知x>1，y>9，∴x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10≥2＋10＝16，当且仅当x－1＝y－9＝3，即x＝4，y＝12时上式取等号，故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.反思与感悟　在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积

5、式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备．跟踪训练1　(1)已知x>0，求f(x)＝＋3x的最小值；(2)已知x<3，求f(x)＝＋x的最大值；(3)设x>0，y>0，且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值．解　(1)∵x>0，∴f(x)＝＋3x≥2＝12，当且仅当3x＝，即x＝2时取等号，∴f(x)的最小值为12.(2)∵x<3，∴x－3<0，∴f(x)＝＋x＝＋x－3＋3＝－＋3≤－2＋3＝－1，当且仅当＝3－x，即x＝1时取等号．∴f(x)的最大值为－1.(3)方法一　由2x＋8y－xy＝0

6、，得y(x－8)＝2x.∵x>0，y>0，∴x－8>0，y＝，∴x＋y＝x＋＝x＋＝(x－8)＋＋10≥2＋10＝18.当且仅当x－8＝，即x＝12时，等号成立．∴x＋y的最小值是18.方法二　由2x＋8y－xy＝0及x>0，y>0，得＋＝1.∴x＋y＝(x＋y)＝＋＋10≥2＋10＝18.当且仅当＝，即x＝2y＝12时等号成立．∴x＋y的最小值是18.类型二　基本不等式在实际问题中的应用命题角度1　几何问题的最值例2　(1)用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？(2)一段长为36m的篱笆围成一

7、个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解　(1)设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则xy＝100，篱笆的长为2(x＋y)m.由≥，可得x＋y≥2，2(x＋y)≥40.当且仅当x＝y＝10时等号成立．所以这个矩形的长、宽都为10m时，所用篱笆最短，最短篱笆为40m.(2)设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则2(x＋y)＝36，x＋y＝18，矩形菜园的面积为xym2.由≤＝＝9，可得xy≤81，当且仅当x＝y＝9时，等号成立．所以这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积为81m2.反思与感悟　利用基本不等式解决实际问题

8、时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用基本不等