高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 简单的三角恒等变换学案（含解析）新人教A版必修.doc

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1、3．2简单的三角恒等变换[导入新知]半角公式[化解疑难]对半角公式的理解(1)半角公式的正弦、余弦公式实际上是由二倍角公式变形得到的．(2)半角公式给出了求的正弦、余弦、正切的另一种方式，即只需知道cosα的值及相应α的条件，sin，cos，tan便可求出．(3)由于tan＝及tan＝不含被开方数，且不涉及符号问题，所以求解题目时，使用相对方便，但需要注意该公式成立的条件．(4)涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目时，常用sin2＝，cos2＝.求值问题[例1]　已知sinα＝－，π<α<，求sin，cos，tan的值．[解]　∵π<α<，sinα＝－，∴cosα＝－，且<<，∴sin＝＝

2、，cos＝－＝－，tan＝＝－2.[类题通法]已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为：(1)先化简已知或所求式子；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．[活学活用]已知sin－cos＝－，450°<α<540°，求tan的值．答案：2三角函数式的化简　　[例2]　化简：(180°<α<360°)．[解]原式＝＝＝.又∵180°<α<360°，∴90°<<180°，∴cos<0，∴原式＝＝cosα.[类题通法]化简问题中的“三变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆角、凑角等手段消除角之间

3、的差异，合理选择联系它们的公式．(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等．[活学活用]化简：(1)－；(2)－2cos(α＋β)．答案：(1)－2sin　(2)三角恒等式的证明[例3]　证明：(1)sinθ(1＋cos2θ)＝sin2θcosθ；(2)＝.[证明]　(1)左边＝sinθ·2cos2θ＝(2sinθcosθ)·cosθ＝sin2θcosθ＝右边．∴原等式成立．(2)右边＝，分子、分母同除以cosαcosβ，得右边＝＝左边．∴原等式成立．[类题通法]盘点三角

4、恒等式证明的常用方法(1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简；(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，化异求同；(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”；(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．[活学活用]求证：＝.证明：左边＝＝＝＝＝＝＝右边．∴原等式成立．　　　　[典例]　(12分)如图，ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，其中AST是半径为90m的扇形小山，其余部分都是平地．一开发商想在平地上

5、建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在ST上，相邻两边CQ，CR正好落在正方形的边BC，CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值．[解题流程][规范解答]如图，连接AP，设∠PAB＝θ，　　　　延长RP交AB于M，则AM＝90cosθ，MP＝90sinθ.　(2分)所以PQ＝MB＝100－90cosθ，PR＝MR－MP＝100－90sinθ.　(4分)所以S矩形PQCR＝PQ·PR＝(100－90cosθ)(100－90sinθ)＝10000－9000(sinθ＋cosθ)＋8100sinθcosθ.　(7分)令t＝sinθ＋cosθ(1≤t≤)，则sinθcosθ＝，　(8分)所

6、以S矩形PQCR＝10000－9000t＋8100·＝2＋950.　(10分)故当t＝时，S矩形PQCR有最小值950m2；[名师批注]矩形PQCR的面积取决于P点位置，而P点的位置取决于θ的大小，因此应考虑利用θ表示PQ，PR的大小，对于AM及PM的值可实现此转化.在解题过程中常发生不知如何作辅助线进行转化，导致无法后续解题的情况.采用换元法实现了sinθ＋cosθ与sinθcosθ间的转化，从而将问题转化为熟知的一元二次函数，但要注意换元后的定义域．此处易忽视t的取值范围而导致答案错误.当t＝时，S矩形PQCR有最大值(14050－9000)m2.(12分)[活学活用]有一块以O为圆心

7、的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在圆的直径上，另外两点B，C落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为a，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大？解：如图所示，设∠AOB＝θ，则AB＝asinθ，OA＝acosθ.设矩形ABCD的面积为S，则S＝2OA·AB，即S＝2acosθ·asinθ＝a2·2sinθcosθ＝a2sin2θ.∵θ∈，∴2θ∈(0，