3．2 简单的三角恒等变换（教、学案）.doc

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1、3．2简单的三角恒等变换【教学目标】会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明，引导学生推导半角公式，积化和差、和差化积公式（公式不要求记忆），使学生进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力。【教学重点、难点】教学重点：引导学生以已有公式为依据，以推导半角公式，积化和差、和差化积公式作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力。【教学过程】复习引入：复习倍角公式、、先让学生默写三个倍角公式，注意等号两

2、边角的关系，特别注意。既然能用单角表示倍角，那么能否用倍角表示单角呢？半角公式的推导及理解：例1、试以表示．解析：我们可以通过二倍角和来做此题．（二倍角公式中以a代2a，代a）解：因为，可以得到；因为，可以得到．两式相除可以得到．点评：⑴以上结果还可以表示为：并称之为半角公式（不要求记忆），符号由角的象限决定。⑵降倍升幂公式和降幂升倍公式被广泛用于三角函数式的化简、求值、证明。⑶代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换，三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系他们的适当公式，这是三角式恒等变换的重要特点。变式训练1：求证积化

3、和差、和差化积公式的推导（公式不要求记忆）：例2：求证：（１）；（２）．解析：回忆并写出两角和与两角差的正余弦公式，观察公式与所证式子的联系。证明：（１）因为和是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．；．两式相加得；即；（２）由（１）得①；设，那么．把的值代入①式中得．点评：在例２证明中用到了换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．变式训练2：课本p1422（2）、3（3）例３、求函数的周期，最大值和最小值．解析：利用三角恒等变换，先把函数式化简，再求相应的值。解：，所以，所求的

4、周期，最大值为２，最小值为．点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．变式训练3：课本p1424、（1）（2）（3）探究：求y=asinx+bcosx的周期，最大值和最小值．小结：我们要对三角恒等变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．作业布置：课本p143习题3.2A组1、（1）（5）3、53．2简单的三角恒等变换（导学案）课前预习学案一、预习目标：回顾复习两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式，预习简单的三角恒等变换。二、预习内容：1、回

5、顾复习以下公式并填空：Cos(α+β)=Cos(α-β)=sin(α+β)=sin(α-β)=tan(α+β)=tan(α-β)=sin2α=tan2α=cos2α=2、阅看课本P139---141例1、2、3。三、提出疑惑：同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标：会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明，会推导半角公式，积化和差、和差化积公式（公式不要求记忆），进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力。学习重点：以已有公式为依据，以推导半角公式，积化和差、和差化积公式作为基本训

6、练，学习三角变换的内容、思路和方法，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。学习难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力。二、学习过程：探究一：半角公式的推导（例1）请同学们阅看例1，思考以下问题，并进行小组讨论。1、2α与α有什么关系？α与α/2有什么关系？进一步体会二倍角公式和半角公式的应用。2、半角公式中的符号如何确定？3、二倍角公式和半角公式有什么联系？4、代数变换与三角变换有什么不同？探究二：半角公式的推导（例2）请同学们阅看例2，思考以下问题，并进行小组讨论。1、两角和与差的正弦、余弦公式

7、两边有什么特点？它们与例2在结构形式上有什么联系？2、在例2证明过程中，如果不用（1）的结果，如何证明（2）？3、在例2证明过程中，体现了什么数学思想方法？探究三：三角函数式的变换（例3）请同学们阅看例1，思考以下问题，并进行小组讨论。1、例3的过程中应用了哪些公式？2、如何将形如y=asinx+bcosx的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数？并求y=asinx+bcosx的周期，最大值和最小值．三、反思、总结、归纳：sinα/2=cosα/2=tanα/2=sinαcosβ=cosαsinβ=cosαcosβ=sinαsinβ=sinθ+sinφ=

8、sinθ-sinφ=cosθ+cosφ