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时间:2019-01-03
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1、3.2简单的三角恒等变换【教学目标】会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明,引导学生推导半角公式,积化和差、和差化积公式(公式不要求记忆),使学生进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力。【教学重点、难点】教学重点:引导学生以已有公式为依据,以推导半角公式,积化和差、和差化积公式作为基本训练,学习三角变换的内容、思路和方法,体会三角变换的特点,提高推理、运算能力。教学难点:认识三角变换的特点,并能运用数学思想方法指导变换过程的设计,不断提高从整体上把握变换过程的能力。【教学过程】复习引入:复习倍角公式、、先让学生默写三个倍角公式,注意等
2、号两边角的关系,特别注意。既然能用单角表示倍角,那么能否用倍角表示单角呢?半角公式的推导及理解:例1、试以表示.解析:我们可以通过二倍角和来做此题.(二倍角公式中以a代2a,代a)解:因为,可以得到;因为,可以得到.两式相除可以得到.点评:⑴以上结果还可以表示为:并称之为半角公式(不要求记忆),符号由角的象限决定。⑵降倍升幂公式和降幂升倍公式被广泛用于三角函数式的化简、求值、证明。⑶代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换,三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系,并以此为依据选择可以联系他们的适当公式,这是三角式恒等变换的重要特点。变式训练1:
3、求证积化和差、和差化积公式的推导(公式不要求记忆):例2:求证:(1);(2).解析:回忆并写出两角和与两角差的正余弦公式,观察公式与所证式子的联系。证明:(1)因为和是我们所学习过的知识,因此我们从等式右边着手.;.两式相加得;即;(2)由(1)得①;设,那么.把的值代入①式中得.点评:在例2证明中用到了换元思想,(1)式是积化和差的形式,(2)式是和差化积的形式,在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式.变式训练2:课本p1422(2)、3(3)例3、求函数的周期,最大值和最小值.解析:利用三角恒等变换,先把函数式化简,再求相应的值。解:,
4、所以,所求的周期,最大值为2,最小值为.点评:例3是三角恒等变换在数学中应用的举例,它使三角函数中对函数的性质研究得到延伸,体现了三角变换在化简三角函数式中的作用.变式训练3:课本p1424、(1)(2)(3)探究:求y=asinx+bcosx的周期,最大值和最小值.小结:我们要对三角恒等变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识,学会灵活运用.作业布置:课本p143习题3.2A组1、(1)(5)3、53.2简单的三角恒等变换(导学案)课前预习学案一、预习目标:回顾复习两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式,预习简单的三角恒等变换。二、
5、预习内容:1、回顾复习以下公式并填空:Cos(α+β)=Cos(α-β)=sin(α+β)=sin(α-β)=tan(α+β)=tan(α-β)=sin2α=tan2α=cos2α=2、阅看课本P139---141例1、2、3。三、提出疑惑:同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标:会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明,会推导半角公式,积化和差、和差化积公式(公式不要求记忆),进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力。学习重点:以已有公式为依据,以推导半角公式,积化和差、和
6、差化积公式作为基本训练,学习三角变换的内容、思路和方法,体会三角变换的特点,提高推理、运算能力。学习难点:认识三角变换的特点,并能运用数学思想方法指导变换过程的设计,不断提高从整体上把握变换过程的能力。二、学习过程:探究一:半角公式的推导(例1)请同学们阅看例1,思考以下问题,并进行小组讨论。1、2α与α有什么关系?α与α/2有什么关系?进一步体会二倍角公式和半角公式的应用。2、半角公式中的符号如何确定?3、二倍角公式和半角公式有什么联系?4、代数变换与三角变换有什么不同?探究二:半角公式的推导(例2)请同学们阅看例2,思考以下问题,并进行小组讨论。1、两
7、角和与差的正弦、余弦公式两边有什么特点?它们与例2在结构形式上有什么联系?2、在例2证明过程中,如果不用(1)的结果,如何证明(2)?3、在例2证明过程中,体现了什么数学思想方法?探究三:三角函数式的变换(例3)请同学们阅看例1,思考以下问题,并进行小组讨论。1、例3的过程中应用了哪些公式?2、如何将形如y=asinx+bcosx的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数?并求y=asinx+bcosx的周期,最大值和最小值.三、反思、总结、归纳:sinα/2=cosα/2=tanα/2=sinαcosβ=cosαsinβ=cosαcosβ=sinαs
8、inβ=sinθ+sinφ=sinθ-sinφ=cosθ+cosφ
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