高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.1 两角差的余弦公式学案（含解析）新人教A版必修.doc

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1、3．1.1　两角差的余弦公式[提出问题]问题1：当α＝60°，β＝30°时，cosα－cosβ等于多少？提示：cosα－cosβ＝cos60°－cos30°＝.问题2：cos60°－cos30°＝cos(60°－30°)成立吗？提示：不成立．问题3：cosα－cosβ＝cos(α－β)成立吗？提示：不一定．问题4：单位圆中(如图)，∠AOx＝α，∠BOx＝β，那么A，B的坐标是什么？与的夹角是多少？提示：A(cosα，sinα)，B(cosβ，sinβ)．与的夹角是α－β.问题5：你能用几种方法计算·的数量积？提示：①·＝

2、

3、·

4、

5、cos(α

6、－β)＝cos(α－β)．②·＝(cosα，sinα)·(cosβ，sinβ)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.问题6：根据上面的计算可以得出什么结论？提示：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.[导入新知]两角差的余弦公式公式cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β简记符号C(α－β)使用条件α，β为任意角[化解疑难]1．公式C(α－β)的结构特点及适用条件(1)公式的结构特点公式的左边是差角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的和式，可用口诀“余余正正号相反”记忆公式．(2)公式的适用条件公式中的α

7、，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如cos中的相当于公式中的角α，相当于公式中的角β.可用两角差的余弦公式展开，因此对公式的理解要注意结构形式，而不要局限于具体的角．2．公式的巧记两角差的余弦值等于两角的同名三角函数值乘积的和．给角求值问题[例1]　求下列各式的值．(1)cos75°cos15°－sin75°sin195°；(2)sin46°cos14°＋sin44°cos76°；(3)cos15°＋sin15°.[解]　(1)cos75°cos15°－sin75°sin195°＝cos75°cos15°－sin75°sin(

8、180°＋15°)＝cos75°cos15°＋sin75°sin15°＝cos(75°－15°)＝cos60°＝.(2)sin46°cos14°＋sin44°cos76°＝sin(90°－44°)cos14°＋sin44°cos(90°－14°)＝cos44°cos14°＋sin44°sin14°＝cos(44°－14°)＝cos30°＝.(3)∵＝cos60°，＝sin60°，∴cos15°＋sin15°＝cos60°cos15°＋sin60°sin15°＝cos(60°－15°)＝cos45°＝.[类题通法]利用公式C(α－β)求值的方法

9、技巧在利用两角差的余弦公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时，要先把非特殊角转化为特殊角的差(或同一个非特殊角与特殊角的差)，正用公式直接化简求值，在转化过程中，充分利用诱导公式，构造出两角差的余弦公式的结构形式，正确地顺用公式或逆用公式求值．[活学活用]1．cos(x＋27°)cos(x－18°)＋sin(x＋27°)sin(x－18°)＝________.答案：2．求的值．答案：给值(式)求值问题[例2]　(1)若sinα－sinβ＝，cosα－cosβ＝，则cos(α－β)的值为(　　)A.　　　B.　　　C.　　　D．1(2)α，

10、β为锐角，cos(α＋β)＝，cos(2α＋β)＝，求cosα的值．[解]　(1)A(2)∵α，β为锐角，∴0<α＋β<π.又∵cos(α＋β)＝>0，∴0<α＋β<，∴0<2α＋β<π.又∵cos(2α＋β)＝，∴0<2α＋β<，∴sin(α＋β)＝，sin(2α＋β)＝，∴cosα＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)·cos(α＋β)＋sin(2α＋β)·sin(α＋β)＝×＋×＝.[类题通法]给值求值的解题策略(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角

11、．(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：①α＝(α－β)＋β；②α＝＋；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．[活学活用]若sin＝，cos＝，且0<α<<β<，求sin(α＋β)的值．答案：给值求角问题[例3]　(1)已知α，β均为锐角，且sinα＝，sinβ＝，则α－β＝________.(2)已知cos(α－β)＝－，cos(α＋β)＝，且α－β∈，α＋β∈，求角β的值．[解]　(1)(2)由α－β∈，cos(α－β)＝－，可知sin(α－β)＝.又

12、∵α＋β∈，cos(α＋β)＝，∴sin(α＋β)＝－，∴cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α