2018版高中数学第三章三角恒等变换3.1.1两角差的余弦公式学案新人教a版必修4

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1、3.1.1　两角差的余弦公式1.了解两角差的余弦公式的推导过程.(重点)2.理解用向量法导出公式的主要步骤.(难点)3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算.(重点、易混点)[基础·初探]教材整理　两角差的余弦公式阅读教材P124～P126例1以上内容，完成下列问题.cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.(1)适用条件：公式中的角α，β都是任意角.(2)公式结构：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)cos(60°－30°)＝cos60°－cos30°.(　　)(2

2、)对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cosα－cosβ都不成立.(　　)(3)对任意α，β∈R，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ都成立.(　　)(4)cos30°cos120°＋sin30°sin120°＝0.(　　)【解析】　(1)×.cos(60°－30°)＝cos30°≠cos60°－cos30°.(2)×.当α＝－45°，β＝45°时，cos(α－β)＝cos(－45°－45°)＝cos(－90°)＝0，cosα－cosβ＝cos(－45°)－cos45°＝0，此时cos(α－β)＝cosα－cosβ.(3)√.结论为两角差的余弦公式.(4)√.co

3、s30°cos120°＋sin30°sin120°＝cos(120°－30°)＝cos90°＝0.【答案】　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√[小组合作型]利用两角差的余弦公式化简求值　(1)cos345°的值等于(　　)A.　　　　　　B.C.D.－(2)的值是(　　)A.B.C.D.(3)化简下列各式：①cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)·sin(θ－24°)；②－sin167°·sin223°＋sin257°·sin313°.【精彩点拨】　(1)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解.(2)两特殊角

4、之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解.(3)对较复杂的式子化简时应注意两角差余弦公式的逆用.【自主解答】　(1)cos345°＝cos(360°－15°)＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝.(2)原式＝＝＝＝＝.(3)①原式＝cos[θ＋21°－(θ－24°)]＝cos45°＝，所以原式＝；②原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°)＝sin13°sin43°＋sin77°sin47°＝sin13°sin43°＋cos13°cos43°＝c

5、os(13°－43°)＝cos(－30°)＝.【答案】　(1)C　(2)C　(3)①　②1.解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是：(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值.(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值.2.两角差的余弦公式的结构特点：(1)同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦.(2)把所得的积相加.[再练一题]1.求下列各式的值：(1)cos；(2)sin460°sin(－160°)＋cos560°cos(－280°)；(3)cos(α－20°)cos(40°＋α)＋sin(α－20°)sin(

6、40°＋α).【解】　(1)cos＝cos＝－cos＝－cos＝－cos＝－＝－＝－.(2)原式＝－sin100°sin160°＋cos200°cos280°＝－sin100°sin20°－cos20°cos80°＝－(cos80°cos20°＋sin80°sin20°)＝－cos60°＝－.(3)cos(α－20°)cos(40°＋α)＋sin(α－20°)·sin(40°＋α)＝cos[(α－20°)－(α＋40°)]＝cos(－60°)＝.已知三角函数值求角　已知α，β为锐角，cosα＝，sin(α＋β)＝，求β.【导学号：00680066】【精彩点拨】　本题是已知三角函数值

7、求角的问题.解答此类问题一般先确定所求角的某一个三角函数的值，然后由角的范围来确定该角的大小.【自主解答】　∵α为锐角，且cosα＝，∴sinα＝＝＝.又α，β为锐角，∴α＋β∈(0，π).又sin(α＋β)＝